Überblick

Einführung

Worum geht es in diesem Kurs?

Durchführung von funktionalen Berechnungen und Signalverarbeitung mit analogen elektronischen Schaltungen, vor allem mit dem Operationsverstärker sowie Schnittstellen zu digitalen Computern.

Statt Bits und Bytes und Boolescher Algebra sind hier elektrische Ströme und Spannungen, das Ohmsche Gesetz und die Kirchhoffsche Regel das Werkzeug.

Worum geht es?

Es geht um maschinelles Rechnen. Aber:

Kann man Berechnungen nur mit digitalen Rechnern durchführen?

Es geht um maschinelles Rechnen. Aber:

Kann man Berechnungen nicht auch mit analogen Maschinen durchführen? Warum? Wieso? Wie? Was sind analoge Rechenmaschinen? Kann man die digitale Informatik abschaffen?

Es geht um maschinelles Rechnen.

Wir beschäftigen uns mit dem automatisierten Entwurf von analogen Elektronikschaltungen für numerische Berechnungen und den Algorithmen dafür.

Dabei sollen Analogrechner in Sensornetzwerken alleinstehend oder als Ergänzung (Koprozessor) eingesetzt werden. Die Miniaturisierung und Integration steht im Vordergrund.

Abbildung 1-1. Ein Analogrechner aus den 70er/80er Jahren zum Lösen von numerischen Problemen

Die Zeit vergeht ... und der Rost kommt.

Abbildung 1-2. Ein Analogrechner aus den 70er/80er Jahren zum Lösen von numerischen Problemen - einige Jahre später...

Analog versa Digital

Analog

Werte von Variablen sind kontinuierlich ∈ ℝ

Signale (z.B. von Sensoren) sind wert- und zeitkontinuierlich

"Auflösung" und Dynamikbereich der Werte nur durch physikalisches Rauschen begrenzt

Abhängigkeit von Umweltbedingungen

Digital

Werte von Variablen sind diskret ∈ 𝕀 / 𝔽

Signale (z.B. von Sensoren) sind wert- und zeitdiskret

"Auflösung" und Dynamikbereich durch Anzahl von Bits und Kodierung bestimmt

Keine Abhängigkeit von Umweltbedingungen

Analog

Digital

Analog

Digital

Kriterien und Eigenschaften

Präzision

Ein Messgerät gilt als präzise, wenn es Messwerte erzeugt, die möglichst eng um den Mittelwert der aufgenommenen Messreihe streuen.

Richtigkeit

Die Richtigkeit beschreibt die Differenz des Mittelwerts der Messwerte vom tatsächlichen, wahren Wert.

Genauigkeit

Ein Messgerät gilt als genau, wenn es Messwerte liefern kann, die möglichst eng und nahe am Referenz- beziehungsweise wahren Wert liegen, also präzise und richtig sind.

Analoge Messtechnik und Analoge Signalverarbeitung gelten als unpräzise und ungenau.

Digitale Messtechnik und digitale Datenverarbeitung gelten als präzise.

Aber Richtigkeit und Genauigkeit in der digitalen Welt sind auch nur eine Illusion.

Rechnen auf kleinsten Raum ...

Keine Schaltschränke, sondern Staubkörner

Abbildung 1-3. (a) "Smart Dust" 50μm Mikrochip von Hitachi mit ARM Cortex Prozessor und RFID (b) "Smart Sensor Mote" von Warneke et al. (c) DFG Forschungsgruppe 3022, Drahtloser Sensorknoten, IMSAS Bremen

In-Sensor Berechnung

Abbildung 1-4. (Links) Getrennte Sensoraufnahme, Vorverarbeitung, Kommunikation und zentrale Berechnung (Rechts) Berechnung im Sensor, Aggregation nur von reduzierten Informationen

"Programmierbare" Analogrechner on Chip

Abbildung 1-5. Es geht auch klein: Feldprogrammierbare Analog Array (FPAA) Mikrochips mit digitaler Schnittstelle

Organische Elektronik

Flexible und gedruckte organische Transistoren: Von Materialien zu integrierten Schaltungen

Verschiedene Fertigungsverfahren und Größe von Transistoren

Flexible und gedruckte organische Transistoren: Von Materialien zu integrierten Schaltungen

Transistorgröße auf Folie

Komplexe Schaltung (OPAMP)

Topics

Analoge und Digitale Berechnung

Grundlagen Elektronik und Sensorik

Der Operationsverstärker: Der analoge Universalrechner - vom mathematischen Modell zur Elektronikschaltung

Analog-Digital Schnittstellen und Wandlung

Sensoren, Signale und Signalverarbeitung

Berechnung mit Operationsverstärkern

Analoge Künstliche Neuronale Netzwerke

Simulation von Elektronikschaltungen: SimLab mit Spice3 und CircuitJS

Der technische Aufbau von Elektronikschaltungen: DiAnaLab mit Hardware Experimentierkasten

Praktische experimentelle Übungen

Übungsformat

Notebooks: Alle Übungen sind digital und werden im Web Browser bearbeitet (lokal, ggfs. off-line). Die Inhalte einer Übungseinheit werden als Datei im JSON Format gespeichert und hochgeladen.

Simulation (Browser, nativ)

Technische Experimente

Alle Dokumente, Videos, und Übungen gibt es hier: https://edu-9.de/Lehre/ads1k.

Literatur

Manfred Rost, Sandro Wefel&br;Elektronik für Informatiker&br;De Gruyter Studium

Jimmie J. Cathey&br;Schaum's Outline of Electronic Devices and Circuits

Elektrische Ströme und Spannungen

Abbildung 1-6. Elektrische Spannung U, Stromfluss I [https://mg-spots.com/]

Bauteile der Elektronik

[https://catalogue-staging.cpcompany.com/study/simbologia-de-componentes-eletronicos.html]

Elektronische Schaltungen

Netzwerkberechnungen und Netzwerktheorie

Netzwerke sind komplexe Schaltungen - und umgekehrt.Ein Netzwerk besteht aus Punkten, die mitei-nander in Verbindung stehen. Die Punkte müssen dabei so verbunden sein, dass mindestens ein Punkt mit drei anderen Punkten verbunden ist und dass jeder Punkt mit mindestens zwei anderen Punkten in Verbindung steht.

[Höwing, 2021]

Kennlinien

In der Digitaltechnik und Informatik benutzt man funktionale Ausdrücke oder Diagramme um das Verhalten von Berechnungen, Algorithmen und Programmen zu beschreiben.

In der Elektronik benutzt man häufig Kennlinien

Simulation

CircuitJS

Spice3

CircuitJS

CircuitJS ist ein vielseitiger, kostenloser und quelloffener elektronischer Schaltungssimulator, der direkt in einem Webbrowser ausgeführt wird und sowohl für die Online- als auch für die Offline-Verwendung zugänglich ist. Dieses Tool ist sehr interaktiv gestaltet und ermöglicht Benutzern das Experimentieren mit einer Vielzahl von elektronischen Komponenten wie Batterien, Widerständen, Induktivitäten und Kondensatoren.

CircuitJS eignet sich sowohl für Anfänger als auch für Fortgeschrittene und ermöglicht es den Lernenden, elektronische Schaltkreise durch einen praktischen Ansatz zu visualisieren und zu verstehen. Benutzer können Komponentenwerte, Ausrichtungen und Platzierungen einfach anpassen und erhalten so ein klares Verständnis von Konzepten wie Spannungsteilung, Stromfluss und grundlegenden Schaltungsoperationen. Diese virtuelle Umgebung hilft dabei, theoretisches Wissen in praktische Erkenntnisse umzuwandeln, indem das reale Schaltungsverhalten simuliert wird.

CircuitJS wurde ursprünglich von Paul Falstad entwickelt und später von Lush Projects erweitert und ist ein leistungsstarkes Lernwerkzeug, das die Komplexität des Lernens elektronischer Schaltkreise vereinfacht. Es ist besonders vorteilhaft für Studenten und Pädagogen und bietet eine benutzerfreundliche Oberfläche, die das effektive Lehren und Lernen von Schaltungsprinzipien unterstützt. Indem es Benutzern ermöglicht, Schaltkreise interaktiv zu manipulieren, erleichtert CircuitJS das Erfassen der Grundlagen der Elektronik und deren Anwendung in praktischen Szenarien.

CircuitJS

Spice3

Schaltung

%% HTML

%% UNWRAP p Spice3 Netzliste

%% HTML

%% UNWRAP p Simulationsergebnisse

Technische Experimente

DiAnaLab

In Kombination mit dem Elektronikstecksystem der Firma ELV mit Operationsverstärkern (Analogrechner)

Abbildung 1-7. Das Experimentierboard DiAnaLab: 8 universelle Recheneinheiten (OPAMP), 2-4 Multipliziereinheiten, Stromversorgung, Ergänzungsplätze, STM32 μController, AD- und DA Wandler, PWM Module (ohne Verdrahtung)

Die technischen Experimente können auch mit eigenen Mitteln zu Hause mit einem einfachem Steckbrett und ggfs. den ELV Bauteilkomponenten durchgeführt werden.

Alle Bauteile sind frei erhältlich

Sensoren und Aktoren

Robotik

Mess- und Prüftechnik

Alltägliche Geräte

Mobile Geräte

[Rost, Wefel, 2021]

Abstandssensoren, Längen- und Wegmessung

Beschleunigungssensoren

Elektrische Größen (Spannung, Strom)

Wärme, Temperatur

Akustik, Schallwellen (Mikrofon)

Signale und Signalverarbeitung

Zwei Signalarten sind zu unterscheiden: Stationäre Signale und zeitabhängige Signale.

Robotik

Mess- und Prüftechnik

Alltägliche Geräte

Mobile Geräte

Elektrischer Widerstand

Ohmsches Gesetz

Baulemente

Transistoren als Verstärker

Abbildung 1-8. Veranschaulichung des Transistorprinzips mit einem "Wasserkraftwerk" [https://mg-spots.com/]

Transistoren: Elektrisch

Abbildung 1-9. (Bipolare) Transistoren: Stromfluss und Spannungen [https://mg-spots.com/]

Die Elementarzelle: Der Operationsverstärker

Funktionsblock

Spannungsgesteuerte Spannungsquelle Stromgesteuerte Spannungsquelle

E-Schaltung

E-Schaltung

Demo zum Begreifen

Grundlagen Elektronik

Abbildung 3-1. Schaltzeichen

Elektrischer Strom und Widerstand

Unter elektrischem Strom verstehen wir:

Gerichteter Transport elektrischer Ladung durch bewegliche Ladungsträger (z.B. Elektronen) in einem Medium. Die physikalische Einheit der Stromstärke ist Ampere (A).

Ein Medium setzt dem Stromfluss einen bestimmten Widerstand entgegen. Dieser lässt sich durch den spezifischen Widerstand ρ des jeweiligen Mediums ausdrücken.

Abbildung 3-2. Wertebereich des spezifischen Widerstandes von Medien [Goßner, 2011]

Elektrische Spannung

Unter elektrischer Spannung verstehen wir:

Vereinfacht: Die Differenz zwischen der "Menge" von Ladungsträgern, d.h. Ladungsüberschuß gegenüber Ladungsmangel. Eine Spannung kann aus einer Anziehung resultieren: Positive und negative Ladungen oder Ladungsdofferenz mit dem Bestreben diese auszugleichen. Daher ist die Spannung eine Kraft und der "Antrieb" für den Stromfluss. Die physikalische Einheit der el. Spannung ist Volt (V).

Zusammenfassend:

Die elektrische Spannung ist die Kraft auf freie Elektronen.

Die elektrische Spannung ist die Ursache des elektrischen Stroms.

Die elektrische Spannung entsteht durch einen Ladungsunterschied.

Physikalisch

Schematisch

Gleichstrom, Gleichspannung, Wechselstrom, Wechselspannung

Elektrischer Strom ist das Fließen von Elektronen.

Bewegen sich die Elektronen immer in die gleiche Richtung, so spricht man von Gleichstrom. Gleichstrom ist ein zeitlich konstanter Strom. Er wird durch eine Gleichspannung bewirkt.

Wechseln die Elektronen regelmäßig ihre Richtung der Fortbewegung, so spricht man von Wechselstrom. Bei Wechselstrom ist der Strom eine Funktion der Zeit.

Wechselstrom wird durch eine Wechselspannung bewirkt.

Ein Beispiel für eine Gleichspannungsquelle ist die Taschenlampenbatterie (Niedrigspannung). Die Steckdose im Haushalt stellt eine Wechselspannungsquelle dar (Hochspannung, nach VDE > 48V).

Leiter und Isolatoren

Es ist eine Erfahrungstatsache, dass bestimmte Stoffe den elektrischen Strom nicht leiten und andere Materialien ihn mehr oder weniger gut leiten. Nach ihrer elektrischen Leitfähigkeit klassifiziert, unterscheiden wir:

elektrische Leiter,

Halbleiter und

Nichtleiter oder Isolatoren.

Damit ein elektrischer Strom in einem bestimmten Material fließen kann, muss dieses Material eine elektrische Leitfähigkeit besitzen. Voraussetzung für eine elektrische Leitfähigkeit ist das Vorhandensein von frei beweglichen Ladungsträgern in dem Material.

Schaltungsnetzwerke

Wir kennen aus der Mathematik oder Informatik Funktionen die ein Eingabe E auf eine Ausgabe A abbilden, d.h. ein Programm ist eine Funktion f(E): E → A.

Informatorische Systeme haben einen Ein- und einen Ausgang, man spricht auch vom Datenfluss.

In der Informatik unterscheiden wir zustandslose (rein funktionale) und zustandsbehaftete (speicherorientierte) Systeme.

Speicherorientierte Systeme haben einen Zustand S der auf historischen - also vergangenen - Daten beruht, und es gilt f(E,S): E × S → A × S'.

Eine Elektronikschaltung ist ein Netzwerk aus elektronischen Komponenten (ein Graph) das weder Eingänge noch Ausgänge kennt. Diese werden durch eine Anwenung zugewiesen!

Ein elektronische Netzwerk (Schaltung) besteht aus:

Komponenten, die Knoten des Graphens

Zweipole (also zwei Anschlüsse), wie Widerstände, Kondensatoren, Induktivitäten (Spulen), Dioden

Vierpole (mit drei oder vier Anschlüssen), wie Transistoren oder Transformatoren (zwei Spulen mit gemeinsamen Kern)

Verbindungen, die Kanten, die die Knoten verbindet.

Teilnetze: Kanten, Kanten mit einem Knotenpunkt (Masche)

Teilnetze sind durch eine elektrische Spannung U (relativ zu einem Bezugspunkt) und einem fliessenden eletrischen Strom I gekennzeichnet.

Abbildung 3-3. Eine elektronische Schaltung (Ausschnitt) mit Komponenten (Zwei- und Vierpole), Kanten und Knotenpunkte, die die Teilverbindungsnetzwerke und Maschen bilden (nummeriert 1-4).

Schaltungsnetzwerk

Ein elektrisches Netzwerk

ist eine modellhafte Abbildung einer elektrischen Schaltung,

die aus einfachen, idealen Netzwerkelementen besteht und

der Beschreibung und Berechnung einer realen Schaltung oder eines Schaltungsentwurfs dient.

Elektrisches Netzwerk

Für lineare Netzwerke gilt:

der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung bzw. zwischen den Eingangs- und den Ausgangsgrößen ist linear,

sie umfassen ausschließlich lineare Netzwerkelemente und

es gilt das Superpositionsprinzip.

Lineares Elektrisches Netzwerk

Für nichtlineare Netzwerke gilt:

der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung bzw. zwischen den Eingangs- und den Ausgangsgrößen ist nichtlinear,

sie beinhalten mindestens ein nichtlineares Netzwerkelement (Halbleiter).

Nichtlineares Elektrisches Netzwerk

Widerstände

Festwiderstände

Festwiderstände kommen in elektrischen Schaltungen sehr häufig vor, sie bestimmen (begrenzen) Strom- und Spannungswerte und dienen dazu, den Arbeitspunkt eines Transistors oder der ganzen Schaltung zu bestimmen.

Einstellbare Widerstände

Neben den Festwiderständen gibt es noch die einstellbaren Widerstände. Sie werden auch Potentiometer oder Trimmpoti genannt. Der Nennwert (Ω) ist fast immer in Zahlen aufgedruckt und ist der maximale Wert, der eingestellt werden kann.

Lichtabhängige Widerstände

Fotowiderstände (LDR), sind Halbleiterbauelemente (siehe auch Halbleiter), deren Widerstand bei Lichteinfall abnimmt (Widerstand wird kleiner). Sie arbeiten stromrichtungsunabhängig und können sowohl für Gleichspannung als auch für Wechselspannung eingesetzt werden.

Temperaturabhängige Widerstände

Der Temperaturabhängige Widerstand verändert seinen Widerstand in Abhängigkeit von der Temperatur. Er kann als Kaltleiter (PTC = positiver Temperatur-Coeffizient) oder Heißleiter (NTC = negativer Temperatur-Coeffizient) ausgelegt sein. Beispielsweise sind die meisten Metalle Kaltleiter.

Widerstandsnetzwerke

Reihenschaltung

Parallelschaltung

Der Spannungsteiler ist eine Reihenschaltung von Widerständen.

Wird der Spannungsteiler durch einen zusätzlichen Widerstand (Verbraucher) parallel belastet, so sind die Werte der Schaltung wie bei einer gemischten Schaltung zu berechnen.

Der unbelastete Spannungsteiler ist eine Reihenschaltung von Widerständen.

Der belastete Spannungsteiler ist eine gemischte Schaltung von Widerständen.

Spannungs- und Strommessung

Spannungsmesser

Ein Spannungsmessgerät hat immer einen Parallelwiderstand der die Messung verfälscht.

Strommesser

Ein Strommesser hat immer einen von Null verschiedenen (kleinen) Serienwiderstand.

Bei gleichzeitiger Verwendung von Spannungs- und Strommeßinstrumenten kann durch den entsprechenden Anschluß der Meßfehler eingegrenzt werden.

[Basiswissen Elektronik, Conrad El.]

Das Ohmsche Gesetz

Das Ohmsche Gesetz: Der lineare Zusammenhang zwischen der Spannung U und dem fließenden Strom I in einem Stromkreis wird folgendermaßen dargestellt:

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(3-2)

Diese Gleichung ist das Ohmsche Gesetz 1 . Die Proportionalitätskonstante R heißt ohmscher Widerstand (Einheit Ohm).

Der Widerstand R eines homogenen elektrischen Leiters mit konstantem Querschnitt A und der Länge l, z.B. eines Drahtes, lässt sich aus der Geometrie des Leiters und einer Materialgröße ρ (spezifischer Widerstand) wie folgt berechnen:

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(3-3)

Kirchhoffsche Regeln

Reale Stromkreise oder Schaltungen umfassen in der Regel eine Vielzahl von Widerständen, Spannungsquellen und anderen Bauelementen; man spricht dann von elektrischen Netzen oder Netzwerken.

Zu deren Behandlung reicht das Ohmsche Gesetz keines-wegs aus. Unser nächstes Ziel ist deshalb, Hilfsmittel bereitzustellen, um solche Stromkreise zu analysieren. Die Kirchhoffschen Regeln 1 erlauben in Verbindung mit dem Ohmschen Gesetz solche Analysen und Berechnungen.

1. Kirchhoffsche Regel (Knotenregel)

An einem Verzweigungspunkt oder Knoten entsprechend der Abb. fließen Ströme aus mehreren Zweigen zu und in verschiedene andere Zweige ab. Wir versehen zufließende Ströme I zu mit einem positiven und abfließende Ströme I ab mit einem negativen Vorzeichen und können dann den Knotensatz formulieren.

Abbildung 3-4. Verzweigungspunkt oder Knoten

In einem Verzweigungspunkt (Knoten) ist die Summe aller dem Knoten zufließenden Ströme gleich der Summe aller vom Knoten abfließenden Ströme.

Eine gleichwertige, andere Formulierung lautet: In einem Verzweigungspunkt (Knoten) ist die Summe aller Ströme Null. Diese Aussage kann man als Gleichung folgendermaßen formulieren:

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(3-4)

Der physikalische Hintergrund dieses Satzes ist die Erhaltung der elektrischen Ladung.

2. Kirchhoffsche Regel (Maschensatz)

Der Maschensatz gilt für geschlossene Strompfade (Maschen) mit beliebig vielen Widerständen und Spannungsquellen. Die Abb. zeigt einen geschlossenen Strompfad mit willkürlich eingetragenem Umlaufsinn.

Abbildung 3-5. Netzmasche in einem Stromkreis

Spannungen und Ströme, deren Richtungspfeile in Richtung des Umlaufsinnes weisen, werden positiv gezählt; alle anderen negativ. Der Spannungsabfall, also die Teilspannung, über jeden Widerstand wird mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes aus dem Strom ermittelt, der durch den Widerstand fließt, wobei sich das Vorzeichen des Spannungsabfalls aus dem Vorzeichen des Stromes ergibt.

In einem geschlossenen Strompfad ist die Summe aller Spannungsabfälle (Rn · In) gleich der Summe aller Quellenspannungen Um (Leerlaufspannungen).

Eine gleichwertige, andere Formulierung lautet: Die Summe aller Teilspannungen in einer Netzmasche ist Null. Als Gleichung schreibt man:

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(3-5)

Der Dehnungsmesswiderstand

Bisher hatten Widerstände einen festen (ggfs. einstellbaren) Widerstandswert. Der Widerstandswert (die Leitfähigkeit) hängt aber von physikalischen Umgebungsgrößen ab: Temperatur, Dehnung, evtl. Feuchtigkeit.

Abbildung 3-6. Ein Dehnungsmessstreifen wird auf Oberflächen aufgebracht um die Dehnung in eine Widerstandsänderung umzusetzen.

Die Temperaturabhängigkeit wird durch einen Temperaturkoeefizienten bestimmt der die Änderung der Leitfähigkeit in Abhängikeit einer Temperaturädnerung angibt.

Gleiches gilt für eine Dehnung mit einem Dehnungskoeffizienten.

p(T) = Widerstand als Funktion der Temperatur

p(T₀) = bekannter Widerstand bei Bezugstemperatur (meist 293,15 K = 20° C)

α = Temperaturkoeffizient

(T – T₀) = Differenz zwischen der zu betrachtenden Temperatur und der Bezugstemperatur

Dann kann der Temperaturkoeffizient wie folgt berechnet werden:

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(3-6)

Die Änderung kann im % Bereich liegen (z.B. bei Silber).

Bei der Dehnung gilt ähnliches, jedoch liegt die Widerstandänderung häufig nur im ‰ Bereich. d.h., z.B 1 ‰ Dehnung entspricht 2 ‰ Widerstandsänderung, oder 1000 µm/m Dehnung entsprechen 2 ‰ Widerstandsänderung, oder 1000 · 10⁻⁶ Dehnung entsprechen 2000 · 10⁻⁶ Widerstandsänderung.

Wir erhalten:

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(3-7)

Der Zusammenhang zwischen Widerstandsänderung ΔR/R und Dehnung ε wird durch den k-Faktor des Dehnungsmessstreifens beschrieben.

Die Dehnung eines elektrischen Leiters hat auch eine Querschnittsveränderung des elektrischen Leiters zur Folge. Die Querschnittsveränderung des elektrischen Leiters ist wiederum mit einer Änderung des elektrischen Widerstands verbunden.

Wie können wir eine Dehnung über eine Widerstandsänderung messen? ΔR ist sehr klein!

Der Spannungsteiler

Abbildung 3-7. R1 ist hier der veränderliche Widerstand (Sensor), und R2 ist ein Bezugswiderstand.

Die Spannung U2 wird sich mit R1 ändern, ist aber auch bei R1=R2 nicht Null sondern U/2:

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(3-8)

Die Messbrücke

Abbildung 3-8. Die Messbrücke mit zwei Spannungsteilern: R1 ist hier der veränderliche Widerstand, d.h. der Sensor.

Die zwei Anschlüsse Us+ und Us- dienen der Speisung der Brückenschaltung.

Die Brückenschaltung ist abgeglichen (die Spannung zwischen Ud+ und Ud- ist 0 V), wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: R1/R2 = R4/R3.

Es gilt i.A. R1=R2=R3=R4=R, mit Bezug R1=R0=R wenn keine Dehnung vorliegt.

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(3-9)

Die Messbrücke und der Operationsverstärker

Die Messbrücke liefert uns eine zum Sensorwiderstand proportionale Spannung als Differenzspannung zwischen zwei Punkten und ist daher Null wenn der Sensor sich im "Ausgangszustand" befindet (R₀).

Aber die Differenzspannung ist noch nicht auf ein Bezugspotenzial (Masse, "unten") bezogen, sondern bezieht sich auf zwei "freie" Punkte in der Schaltung (die Mitte der beiden Spannungsteiler).

Relativ zum Bezugspotenzial haben wir eigentlich zwei Spannungen.

Das ändern wir durch Anwendung eines Differenzverstärkers, der eine Differenzspannung zwischen zwei beliebigen Punkten der Schaltung in eine Spannung mit Bezugpotenzial (Masse) umsetzt: Der Operationsverstärker)

Abbildung 3-9. Die Verwendung des Operationsverstärkers als Differenzversträkers lifert uns nun die gewünschte Umsetzung des Sensorwiderstands in eine um den nullpunkt lineare Messspannung.

Erweiterung von Messbereichen

Abbildung 3-10. Schaltungen zur Messbereichserweiterung: (Links) Erweiterung des Spannungsbereiches durch *R*~V~ (Rechts) Erweiterung des Strombereiches durch *R*~P~

Die Kapazität und die Induktivität

Das Verhalten des (idealen) elektrischen Widerstands ist nicht zeitabhängig.

Das Verhalen eines Kondensators (Kapazität) und einer Induktivität (Spule) ist zeitabhängig.

Kapazizät

Die Kapazität

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(3-10)

beschreibt die Fähigkeit einer Leiteranordnung, elektrische Ladung Q zu speichern.

Kondensatoren sind Bauelemente mit einer bestimmten Kapazität C, also mit der Fähigkeit, elektrische Ladung zu speichern. Sie bestehen aus zwei gegeneinander elektrisch isolierten flächenhaften Leitern.

Induktivität

Wenn durch eine Spule ein Strom fließt, existiert in dieser Spule und in deren Umgebung ein Magnetfeld. Dieses Magnetfeld beinhaltet die Energie, die zum Aufbau des Feldes notwendig war; sie wird wieder frei gesetzt, sobald der Strom unterbrochen wird und das Feld zusammenbricht.

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(3-11)

Der Kondensator

Laden eines Kondensators – dynamisches Verhalten

Ein Kondensator C über einen Widerstand R und einen Schalter S mit einer Spannungsquelle verbunden. Der Kondensator sei zu Beginn des Experiments ungeladen, folglich ist die Spannung UC am Kondensator zunächst Null. Nach dem Schließen des Schalters fließt Ladung von der Spannungsquelle auf den Kondensator und die Spannung am Kondensator steigt an; sie wird eine Funktion der Zeit UC(t):

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(3-12)

(Durch Anwendung der Kirchhoffschen Regeln und des Ohmschen Gesetzes)

Abbildung 3-11. Ladung eines Kondensators über einen Widerstand, Schaltung und Ladekurve [Rost, Wefel, 2021]

Entladen eines Kondensators – dynamisches Verhalten

Der geladene Kondensator wird wieder entladen, indem ein Stromkreis zwischen seinen beiden Anschlüssen über den Widerstand R und den Schalter S geschlossen wird. Dabei kehrt sich die Stromrichtung um und die Ladung fließt vom Kondensator ab. Der Kondensator verliert die vorher gespeicherte Energie wieder und die Spannung UC fällt:

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(3-13)

Der Term RC hat die Dimension einer Zeit und heißt Zeitkonstante τ.

Abbildung 3-12. Entladung eines Kondensators über einen Widerstand, Schaltung und Entladekurve [Rost, Wefel, 2021]

Technische Kondensatoren

Abbildung 3-13. Technische Kondensatoren in verschiedenen Bauformen [Rost, Wefel, 2021]

Kapazität eines Kondensators

Kapazität eines Plattenkondensators ist abhängig von:

Der physikalischen Eigenschaften (ε) der Materialien

Die Fläche A der Platten

Der Abstand der d Platten

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(3-14)

Zusammenschaltung von Kondensatoren

Abbildung 3-14. Zusammenschaltung von Kapazitäten: (Links) Reihenschaltung (Rechts) Parallelschaltung [Rost, Wefel, 2021]

Reihenschaltung

Gesamtkapazität bei Reihenschaltung von n Kapazitäten:

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(3-15)

Parallelschaltung

Gesamtkapazität bei Parallelschaltung von n Kapazitäten:

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(3-16)

Die Induktivität

Wenn durch eine Spule ein Strom fließt, existiert in dieser Spule und in deren Umgebung ein Magnetfeld.

Dieses Magnetfeld beinhaltet die Energie, die zum Aufbau des Feldes notwendig war; sie wird wieder frei gesetzt, sobald der Strom unterbrochen wird und das Feld zusammenbricht.

Wenn eine Spule mit der Induktivität L von einem zeitlich veränderlichem Strom dI/dt durchflossen wird, gilt für den Spannungsabfall an der Spule:

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(3-17)

Entladen und Entladen einer Spule – dynamisches Verhalten

Abbildung 3-15. Zu- und Abschaltung einer Induktivität

Es gilt nach den Kirchhoffschen Regeln und dem Ohmschen Gesetz:

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(3-18)

Der Strom kann maximal den Wert I₀=U₀/R annehmen.

Der Term R/L hat die Dimension einer Zeit und heißt Zeitkonstante τ.

Zusammenschaltung von Induktivitäten

Abbildung 3-16. Zusammenschaltung von Induktivitäten

Reihenschaltung

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(3-19)

Parallelschaltung

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(3-20)

Bauelemente oim Wechselstromkreis

Bisher haben wir Gleichspannungen oder nur langsam veränderliche Spannungen als Stimulus betrachtet. Bei einer Wechselspannung verhalten sich die Bauteile sehr unterschiedlich.

Bei einer Gleichspannung muss nur der messabre "reale" Anteil betrachtet werden.

Bei einer Wechselspannung müssen wir auch den nicht emssabren "imaginären" Anteil von Spannung und Strom betrachten.

Spannung und Ströme sind also komplexe Größen, keine reelen!

Statt des reelen ohmschen Widerstands R wird nun die abstrakte nicht direkt messbare (komplexe) Impedanz Z betrachtet.

Bauelemente im Wechselstromkreis

Abbildung 3-17. Bauteile im Wechselstromkreis. (Oben) ohmscher Widerstand, Strom und Spannung sind phasengleich, (Mitte) Kapazität, der Strom eilt der Spannung um 90° voraus, (Unten) Induktivität, der Strom eilt der Spannung um 90° nach

Jetzt wird es komplex ... Komplexe Zahl: Re + i Im.

Kondensator

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(3-21)

Spule

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(3-22)

Ersatzschaltbilder von realen Bauteilen

Bisher haben wir nur "theoretische" Bauteile betrachtet, d.h.. ein Widerstand ist nur ein ohmscher Widerstand, ein Kondensator nur eine Kapazität, eine Spule nur eine Induktivität.

Jeder Draht, jede Zuleitung, jede Leiterbahn ist eine Induktivität

Zwei Drähte nebeneinander bilden eine Kapazität

In der Realität bestehen also Bauteile aus verschiedenen Anteilen von ohmschen Widerständen, Kapazitäten, und Induktivität.

Man bildet reale Bauteile mit kombinierten Ersatzschaltbildern (oder Netzlisten) ab.

Realer Widerstand

%% HTML

%% UNWRAP p Realer Kondensator

%% HTML

%% UNWRAP p Reale Spule

Der Schwingkreis

Bei den Ersatzschaltbildern für reale Bauteile haben wir gesehen dass es neben der Hauptkomponente auch Nebenkomponenten gibt ("Parasiten"), die einfach physikalisch bedingt vorhanden sind (aber nicht dazugebaut werden!).

Es handelt sich immer um R-L-C Kombinationen.

Die Reihenschaltung von RLC bezeichnet man als einen Reihenschwingkreis.

Die Parallelschaltung von RLC bezeichnet man als einen Parallelschwingkreis.

Es schwingt etwas! Eine Schwingung hat eine Frequenz f (oder setzt sich aus einer Überlagerung verschiedener Frequenzen zusammen). Die Einheit einer Frequenz ist Herz (Hz) oder 1/s. D.h. die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde.

Abbildung 3-18. Harmonische Wechselspannung *u*(*t*) als Zeitfunktion mit Periodendauer (*T*), Phase φ und Amplitute *U* [Ross, 2021]

Abbildung 3-19. Reihenschwingkreis: Schaltung, ungedämpfte und gedämpfte Schwingung. (Links) Schaltbild (Mitte) Ungedämpfte Schwinung (R=0) (Rechts) Gedämpfte Schwingung (R ≠ 0) [Ross, 2021]

Die Schwingungsfrequenz f₀ (0 weil freier Schwingkreis) lässt sich dann berechnen durch:

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(3-23)

D.h.:

Je größer die Kapazität (Farad F) und/oder die Induktivität (Henry H) desto kleiner ist die Schwingungsfrequenz (Schwingung dauer länger da mehr Ladung "gespeichert" wird)

Der "Verlustwiderstand" (physikalisch bedingt oder eingefügt) dämpft nicht nur die Schwingung (Amplitude nimmt ab), sondern verändert auch die Schwingungsfrequenz!

Zusammenfassung

Wir haben drei grundlegende passive Bauteile in Elektronikschaltungen: Widerstände, Kapazitäten (Kondernsator) und Induktivitäten (Spule).

Die Bauteile lassen sich in Netzlisten (Grapen) zusammenschalten

Es gibt Spannungen zwischen Punkten in der Netzliste und Ströme in den Kanten des Graphens.

Das Ohmsche Gestz und die zwei Kirchhoffschen Regeln sind elementar für die Berechnung von elktronischen Schaltungen.

Das Ohmsche Gestz und die zwei Kirchhoffschen Regeln sind Grundlage für die Simulation von Elektronikschaltungen (Lösen von lineare Gleichungssystemen).

Der Operationsverstärker

Das Mathematische Modell

Der Operationsverstärker ist ein Differenzverstärker. D.h. er multipliziert eine Differenz der Spannungen zweier Eingänge die am Ausgang abgegriffen werden kann.

Funktion

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(4-1)

Schaltsymbol

Dabei ist V₀ die sog. Leerlaufverstärkung des Differenzverstärkers ohne weitere Beschaltung. Der mathematische (ganz ideale) OpAmp hat V₀ → ∞. Erst durch eine Beschaltung erhält man ein V ≪ V₀.

Der ideale Operationsverstärker

In der Realität gibt es eine maximale Ausgangsspannung Ua,max < +UB und eine minimale Ua,min > -UB (Klipping)

Dabei sind +UB und -UB die positive und negative Versorgungsspannung des Operationsverstärkers (Spannungsquellen).

Innerhalb [Ua,min,Ua,max] ist der Übertragsungsbereich nahezu linear, d.h. porportional zur Eingangsspannung.

Aber es gibt noch einen kleinen Versatz (Offset). Eine Offsetspannung verschiebt die Übertragungsfunktion auf der UD -Achse (gestrichelte Linie in folgender Abb.). Dieser Fehler kann leicht kompensiert werden.

Abbildung 4-1. Übertragungsfunktion (Kennlinie) eines fast idealen Operationsverstärkers. [Rost, Wefel, 2021]

[opampclip1.txt]

Abbildung 4-2. Ersatzschaltung eines Operationsverstärkers [Rost, Wefel, 2021]

Es gilt dann (UG ist eine kleine Generatorspannung die den Offset produziert):

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(4-2)

Bisher haben wir zeitunabhängige Spannungen und Signale betrachtet. Aber schon beom Schwingkreis gab es eine Wechselspannung mit einer bestimmten Frequenz f.

Ein Operationsverstärker kann auch Wechselspannungen verstärken. Aber hier nimmt die Leerlaufverstärkung mit der Frequenz ab!

Oder anders ausgedrückt: Das Produkt aus Verstärkung und maximaler Frequenz ist konstant.

Es gibt keine untere Grenzfrequenz und ab der sog. Eckfrequenz fällt die Verstärkung mit 20 dB/Dekade.

Abbildung 4-3. Frequenzgang eines Operationsverstärkers (Leerlaufverstärkung)

Der reale Operationsverstärker

Moderne integrierte Operationsverstärker kommen dem idealen Operationsverstärker in ihren Eigenschaften so nahe, dass man bei der Analyse und Synthese vieler Applikationen näherungs-weise mit den Eigenschaften des idealen Operationsverstärkers rechnen kann.

Da der OpAmp ein Differenzverstärker ist benötigt man am Eingang einen Differenzverstärker gefolgt von einem Spannungs- und Stromverstärker.

Abbildung 4-4. Differenzverstärker, schematisch, mit zwei symmetrischen Transistoren

Abbildung 4-5. Der mininmale reale OpAmp: Differenzverstärker mit nachfolgenden Spannungs-Stromverstärker (drei Transistoren)

[opamp3.txt]

Der Operationsverstärker als Analogrechner

Abbildung 4-6. Der Operationsverstärker wird durch externe Schaltungsblöcke zu einem Analogrechner. Was er berechnet hängt von den Blöcken ab. Nicht alle Blöcke sind immer vorhanden, teils nur einer.

Wie unterscheiden fpögende Schaltungsblöcke (Subnetzwerke):

Rückkopplungsblöcke (Feedback FB-, FB+ Blöcke);

Eingangs- und Ausgangsblöcke (Input IB-, IB+, Output OB);

Terminalblöcke (Terminal TB-,TB+) die die Eingänge mit demBezugspotenzial (Masse) verbinden.

Bei der Rückkopplung unterscheiden wir:

Gegenkopplung

Vom Ausgang zum invertierenden (-) Eingäng. Die Gegenkopplung hat eine "reduzierende" Wirkung auf das Ausgangssignal, d.n. plakativ dekrementell "x:=x-1"

Vorwärts- oder Mitkopplung

Vom Ausgang zum nichtinvertierenden (+) Eingäng. Die Vorwärts- oder Mitkopplung hat eine "erhöhende" Wirkung auf das Ausgangssignal, d.n. plakativ inkrementell "x:=x+1"

Die Schaltungsblöcke können folgende Bauelemente enthalten:

Widerstände

Kondensatoren (Kapazitäten)

Spulen (Induktivitäten)

Eine Kombination aus 1-3

Nichtlineare Bauelemente wie Dioden oder Transistoren

Keine Komponenten (offen)

Lineare Grundschaltungen des Operationsverstärkers

kein zeitabhängiges (zustandsbehaftetes) Verhalten

daher nur Widerstände in den Schaltungsblöcken

Der invertierende Verstärker

Der nichtinvertierende Verstärker

Der Summationsverstärker (Addierer)

Der Subtrahierer

Der Messverstärker

Der invertierende Verstärker

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(4-3)

Abbildung 4-7. M ist ein virtueller Massepunkt in dem die Kirchhoffsche Knotenpunktregel gilt: In ihn fließen die Ströme *I*~1~ und *I*~2~ hinein und der Strom *I*~−~ heraus.

Knotenpunktsatz an der virtuellen Masse M:

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(4-4)

Nachteil des invertierenden Verstärkers: Der Eingangswiderstand bei U₁ ist ungefähr R1.

Der nichtinvertierende Verstärker

Beim nichtinvertierenden Verstärker wird der Operationsverstärker über den nichtinvertierenden Eingang angesteuert. Folglich ist das Ausgangssignal phasengleich mit dem Eingangssignal. Das Gegenkopplungssignal wird über einen Spannungsteiler am Ausgang gewonnen und dem invertierenden Eingang zugeführt.

Es gilt:

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(4-5)

Vorteil: höherer Eingangswiderstand als invertierender Verstärker.

Abbildung 4-8. Der nichtinvertierende Verstärker. R0 ist optional.

Der Addierer

Wir haben gesehen, dass in der virtuellen Masse die Ströme I₁ vom Eingang und I₂ vom Ausgang der Schaltung zusammen fließen und die Summe 0 ergibt.

Prinzipiell könnte sich I₁ (oder auch I₂) aus Teilströmen zusammensetzen.

Das nutzt man beim Umkehraddierer

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(4-6)

Abbildung 4-9. Addierer (invertierend)

Der Subtrahierer

Da jeder Operationsverstärker über einen invertierenden und einen nichtinvertierenden Eingang verfügt, kann man einen Subtrahierer mit nur einem Operationsverstärker realisieren

Jetzt werden sowohl der invertierende als auch der nichtinvertierende EIngang verwendet

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(4-7)

mit R1=R3 und R2=R4.

Jedoch ist ein solcher Subtrahierer etwas asyymetrisch in seinen EIgenschaften da der invertierende und nichtimvertierende Zweig nicht symmetrisch aufgebaut sind.

Abbildung 4-10. Subtrahierer

Der Instrumentenverstärker

Hier sind die Zweige symmetrisch in ihren Eigenschaften

Abbildung 4-11. Verwendung von vorgeschalteten nichtinvertierenden Verstärkern um den niedrigen Eingangswiderstand des nachgeschalteten Subtrahieres zu kompensieren. [https://www.mikrocontroller.net/articles/Operationsverst%C3%A4rker-Grundschaltungen#Der_Instrumenten-Verst%C3%A4rker]

Es gilt hier:

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(4-8)

Analoges Rechnen

Wir haben vier Abstraktionsebenen für die Beschreibung von mathematischen (algebraischen) Berechnungen:

Transistor Ebene

Operationsverstärker Ebene

Analogrechner Ebene

Mathematische Ebene

Jede Abstraktionsebene hat ihre Symbolik. Nachfolgend werden die grundlegenden Abbildung mathematischer Symbole auf analoge Schaltungen gezeigt.

Multivariate Polynome 1. Grades

Mathematisch

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(4-9)

Wir benötigen:

Addierer

Negierer (ki < 0)

Konstantenmultiplizierer

Wesentlich wird der invertierende Verstärker als Basiszelle benötigt.

Analog

Analogrechner

Der Summierer hat hier Verstärkung 1

Es sind Inverter und Multiplizierer erforderlich

Operationsverstärker

Hier können wir Multiplikation (Gewichtung) und Summation zusammenfassen

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(4-10)

Abbildung 4-12. Negative Gewichtungsfaktoren benötigen Inverter. Das führt aber zu einem asymmetrischen Schaltungsaufbau und unterschiedlichen Eigenschaften in "positiven" und "negativen" Zweigen. Besser die Verwendung eines symmetrischen Aufbaus mit zwei invertierenden gewichteten Summierer und einem Subtrahierer. Ein *x*~i~ wird entweder an den oberen oder unteren Zweig angeschlossen.

THAT Analogcomputer

Symbolik

Abbildung 4-13. Bei "klassischen" Analogrechnern hat man häufig keine veränderlichen Gewichte. Entweder man muss einen echten Multiplizierer *x* × *y* verwenden und *k* wird durch eine Spannung eingestellt oder bei gradzahligen Vielfachen kann man mehrere Eingänge eines Summieres mit der gleichen Variable beschalten.

Zusammenfassung

Der Operationsverstärker ist ein Differenzverstärler

Er ist die Basiszelle des analogen Rechnens

Die Beschaltung des Operationsverstärkers mit Blöcken gibt der Schaltung eine mathematische Funktion

Man kann sagen dass diese analogen Schaltung mathematische Ausdrücke und Berechnungen simulieren, und das teils sehr gut.

Die Grundschaltungen invertierender Addierer (mit Gewichtung der Eingangsvariablen), imvertierender Verstärker und Subtrahierer bilden die Schaltungsbasis für lineare Berechnungen.

Dynamische Systeme

Bisher hatten wir nicht zeitabhängige und lineare Systeme betrachtet

Hier werden zeitabhängige Systeme betrachtet (aber noch linear)

Frequenzfilter

Integrator

Differenzierer (Ableitung)

Transformation einer veränderlichen Variable x in eine Zeitvariable x ermöglicht das Lösen von Gleichungssystemen und Differentialgleichungen.

Passive dynamische Systeme

Wir benötigen reaktive Bauelemente: Kapazitäten und Induktivitäten

[Rost et al.]

%% FIGURE [] Die Verwendung von Kapazitäten führt auf Frequenzfilter mit bestimmten Filtercharakteristiken. Ein zeitabhängiges Signal besitzt eine Frequenz (oder Frequenzspektrum). Oben: Komplexer Spannungsteiler, Unten: Filtercharakteristiken idealer Frequenzfilter

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(5-1)

Die Funktion g(ω) heißt Übertragungsfunktion; sie kann in Betrag und Phase zerlegt werden.

Den Betrag der Übertragungsfunktion nennt man den Amplitudengang und die Phase den Phasengang.

Der Begriff Frequenzgang umfasst Amplituden- und Phasengang eines linearen Systems.

Alle Größen sind hier komplexe Zahlen!

Aktive Filterschaltungen

Abbildung 5-1. Man kann nun die passiven Tief-. Hoch- und Bandpassschaltungen in die Funktionsblöcke eines Operationsverstärkers integrieren und man erhält aktive Filter (hier Tiefpass). [https://www.electronics-tutorials.ws/de/filtern/aktiver-tiefpassfilter.html]

Der Integrator

Wir betrachten in diesem Kurs keine zeitabhängigen Signale (an sich), sondern zunächst nur stationäre Variablen

Aber der aktive Tiefpass führt uns auf eine sehr wichtige analoge Berechnungsschaltung: Die Berechnung des bestimmten Integrals!

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(5-2)

Abbildung 5-2. Integrator abgeleitet aus dem aktiven Tiefpassfilter und dem invertierenden Verstärker. [Ross et al.]

Wir müssen jetzt eine Variable x in eine Zeitgröße t transformieren um ein bestimmtes Integral zu berechnen.

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Bei der Integration gibt es eine Startbedingung. Hier wäre es die Ladung 0 des Kondensators (entladen).

man benötigt für Integration in einem bestimmten Zeitintervall eine Startschaltung (Initial Condition), die i.A. mit (elektronischen) Schaltern realisiert wird.

Abbildung 5-3. (Links) Integrator mit OpAmp und Schaltern für die zurücksetzung/Initialisierung mit der Startbedingung *e*~0~ (Rechts) Symbol Analogrechner mit Set und Reset Kontrolleingängen [Ulmann, 2013]

Der Differenzierer

Das Gegenstück zum Integrator bildet die zeitliche Ableitung (Gradient) eines (zeitabhängigen) Signals x(t)

Er entspricht einem Hochpassfilter (hohe Frequenzen passieren, tiefe nicht)

Es müssen nur Widerstand und Kondensator vertauscht werden da die Diefferenzeirung die inverse Funktion des Integrals ist.

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(5-3)

Abbildung 5-4. Invertierender Differenzierer mit Eingangsruhestromkompensation (TB+, optional). [Siegel et al., 2018]

[opampdiff1.txt]

[opampintdiff1.txt]

Berechnung eine bestimmten Integrals

Mit dem Integrator können zeitabhängige Signale integriert werden.

Will man eine Funktion f(x) in einem Intervall x ∈ [a,b] integrieren, braucht man eine Steuerung des Integrators.

Zunächst muss aber die Funktion f(x) in eine zeitabhängig Funktion f(t) "transformiert" werden, d.h., wir benötigen einen Funktionsgenrator.

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(5-4)

Im Gegensatz zur digitalen Berechnung brauchen wir kein numerisches Näherungsverfahren (Algorithmisches Ersatzmodell) für die Berechnung des Integrals. Durch den Übergang in die Zeitdimension gibt es aber eine vom Intervall [a,b] abhängig Integrationszeit.

Die Variablen a,b werden ebenfalls in Zeitvariablen [ta,tb] transformiert. Die gesamte Integrationszeit ist dann tint= tb-ta.

Die Variablen ta,tb sind relativ zu dem Funktionsgenerator F(t,ω) zu sehen, d.h. relativ zu einer (möglichen) Periodendauer T=1/ω (mit ω als Frequenz der Funktion).

Wie soll man eine zeitabhängige Funktion, hier sin(t), nur in einem bestimmten Abschnitt integrieren?

Der Integrator selbst kann durch einen Schalter nur initialisiert werden, jedoch nicht ein- und ausgeschaltet werden.

Wir brauchen also einen zusätzlichen Eingangsschalter der das zu integrierende Signal schaltet. Wir machen uns mathematisch zu nutze:

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(5-5)

D\.h., wenn das Eingangssignal des Integrators 0 ist ändert sich der Ausgang des Integrators (theoretisch bzw. beim idealen OpAmp) nicht (mehr).

Wir benötigen einen elektronischen Single Pole Single Throw (SPST) Schalter. Dieser kann einfach mit Transistoren realisiert werden (wenn auch mit nichtidelaen Eigenschaften - wird später diskutiert). Der analoge Ein- und Ausgang ist vertauschbar (symmetrisch). Der untere Steuerungsanschluss bestimmt ob der Schalter geschlossen (Steuerspannung > 0) oder geöffnet (Steuerspannung ≤ 0) ist.

Jetzt benötigen wir die Berechnung des Steuersignals in zeitlicher Abhängigkeit mit dem zeitlichen verlauf des zu integrierenden Signals sin(t).

Dazu verwenden wir einen Rampengenerator der eine zeitlich linear ansteigende Spannung (mit 0V beginnend) erzeugt (und bei erreichen eines Maximalwerts, z.B. 10V, wieder bei 0V anfängt).

Die variablen Grenzen a und b werden jetzt als Zeitwerte ta und tb aufgefasst, die dann doch wieder als Spannungen bezüglich des zeitlichen Rampensignals verwendet.

Es werden zwei Komparatoren die die einstellbaren aber zunächst festen Spannungen a und b mit dem Rampensignal vergleichen verwendet:

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(5-6)

Folgende Schaltung kann das realisieren:

Die ersten beiden OpAmp werden als Komparatoren verwendet. Der Differenzverstärker (dritter OpAmp) hat noch seine (sehr große) Leerlaufverstärkung und muss durch einen beschalteten Differenzverstärker mit einer Verstärkung von z.B. V=10 implementiert werden.

Wir gehen davon aus dass die (periodische) Funktion F(t) die gleiche Periodendauer (oder Frequenz) wir der Rampengenerator hat. D.h. bei einer Sinusschwingung ist eine Periode bei 40 Hz gleich 25 ms, und in der gleichen Zeit soll der Rampengenerator [0,1] ausgeben. Bei 25 ms würde das dann einer normierte "Phase" der Sinusschwingung von [0,2\*π] entsprechen (Einheitskreis).

Abbildung 5-5. Vollständige Schaltung des Analogrechners für die Berechnung eines bestimmten Integrals in den variablen

Analog-Digital Schnittstellen

Bisher wurden nur analoge Schaltungen betrachtet die für die z.B. für die numerische Berechnung eingesetzt werden ("Analogrechner")

Isolierte Analogrechner haben häufig nur begrenzte Einsatzmöglichkeiten.

Besser ist ein Hybridmodell aus analogen Recheneinheiten die mit digitalen (Computer) Systemen gekoppelt sind.

Dazu benötigen wir aber Schnittstellen

Analog-Digital Wandler

Digital-Analog Wandler

Analog-Digital-Wandler und Digital-Analog-Wandler

Analog-Digital-Wandler (ADC) und Digital-Analog-Wandler (DAC) sind die Schnittstellen zwischen analoger und digitaler Elektronik.

An der Reihenfolge der Buchstaben kann man die Wandlungsrichtung erkennen:

ein ADC bildet analoge Signale auf digitale Signale ab, während ein

DAC digitale Signale in den analogen Bereich umsetzt.

Abbildung 6-1. Schaltzeichen für Analog-Digital-Wandler (links) und Digital-Analog-Wandler (rechts), die Pfeile geben die Flussrichtung des Signals an

Analog

Analoge Signale sind zeitkontinuierlich und wertkontinuierlich, d.h. eine analoge Größe, z.B. eine Spannung, wird durch eine Zeitfunktion U(t) dargestellt.

Digital

Digitale Signale sind über die Zeit gesehen durch eine Folge Z₁, Z₂, Z₃ ... von diskreten Werten, die zu diskreten Zeiten t₁, t₂, t₃ ... anliegen, gegeben, d.h. Spannungen werden in der Digitaltechnik durch Zahlenfolgen [Zm] m≥1 dargestellt.

Am Eingang des ADC liegt die analoge Spannung U(t) an und am Ausgang wird die zugehörige Folge von Binärzahlen [Zm] m≥1 ausgegeben.

Am Eingang des DAC liegt eine Folge von Binärzahlen [Zm] m≥1 an und es wird die zugehörige Folge von Spannungen [Um] m≥1 ausgegeben.

Jeder ADC und DAC hat einen festen Eingangs- oder Ausgangsspannungsbereich [Umin,Umax].

Abbildung 6-2. Wandlersymbole mit Eingangs-, Ausgangs- und Hilfsgrößen

Zur Analog-Digital- und ggfs. zur Digital-Analog-Wandlung werden zwei Hilfsgrößen benötigt, nämlich

ein Taktsignal clk, welches zur Realisierung diskreter Abläufe in der Zeit dient und

eine Referenzspannung URef , die zur Festlegung eines Spannungsquantums ULSB dient, welches beim ADC zur Abbildung der Eingangsspannung auf binäre Zahlen bzw. beim DAC zur Abbildung von Binärzahlen auf die entsprechende Spannung benutzt wird.

Digitales Multimeter

Abbildung 6-3. Struktur eines digital anzeigenden Messgeräte

In diesem Beispiel wird eine analoge Eingangsspannung UEing mit Hilfe eines Bereichsumschalters an den Eingangsspannungsbereich des ADC angepasst. Dem Wandler wird diese Spannung UADC eingangsseitig zugeführt und er liefert am Ausgang die entsprechenden Binärzahlen Zm.

Damit digitalisierte Werte Zm angezeigt werden können, werden diese für die Anzeige in darstellbaren Code umgesetzt und an die Anzeige übergeben.

Digitaler Funktionsgenerator

Abbildung 6-4. Prinzip eines digitalen Funktionsgenerators (synthetische Schwingungserzeugung)

In einem ROM sind n Funktionswerte einer zu erzeugenden Funktion digital gespeichert. Beim Anlegen einer Adresse Addr an das ROM wird der unter der Adresse digital gespeicherte Funktionswert Z(Addr) auf den Eingang des DAC gelegt und schließlich als Spannungswert Ua ([ZAddr,clk]) ausgegeben. Die Adressen des ROM werden von einem Zähler geliefert, der je nach Zählrich-tung mit dem Takt clk vor- bzw. rückwärts zählt. Durch Erhöhen oder Verringern der Taktfrequenz kann die Frequenz der Ausgangsspannung verändert werden.

ADDA Systeme

Abbildung 6-5. Prinzip eines Analog-Digital-Analog Steuerungssystems

Abbildung 6-6. Prinzip eines Analog-Digital-Analog oder Digitaö-Analog-Digital Berechnungssystems

Wandlereigenschaften

Lineare Wandlerkennlinie

Bei Analog-Digital-Wandlern sollen die ausgegebenen Datenworte möglichst genau das Eingangssignal, also dessen Momentanwert und Zeitverlauf, abbilden. Bei Digital-Analog-Wandlern wiederum soll die Ausgangsspannung exakt dem momentan am Eingang anliegenden Datenwort entsprechen.

Auflösung

Kleinste auflösbere Spannung ULSB ("1 Digit").

Wandlungszeit

Die Digitalisierung der analogen Eingangsspannung benötigt eine Zeit, die Wandlungszeit tW.

Abbildung 6-7. Auflösung, Anzahl der Zustände, LSB-Gewicht und Spannungsquantum U~LSB~

Kennlinie eines DA Wandlers

Abbildung 6-8. Kennlinie eines 3-Bit-DAC (links) und Wandlungsfehler (rechts)

Digitale diskrete Werte führen auf analoge diskrete Werte!

Kennlinie eines AD Wandlers

Abbildung 6-9. Kennlinie eines 3-Bit-ADC (links) und dynamische Fehler(rechts)

Intervalle von analogen kontinuierlichen Werten führen auf diskrete Digitalwerte!

Wandlungszeit und Signalhaltung

Die Digitalisierung der analogen Eingangsspannung benötigt eine Zeit, die Wandlungszeit tW. Während der Wandlungszeit kann sich die Eingangsspannung je nach ihrem zeitlichen Verlauf mehr oder weniger ändern.

Damit solche Spannungsänderungen den Wandlungsprozess nicht beeinflussen, wird die Eingangsspannung abgetastet und der Abtastwert für die Zeit der Wandlung konstant gehalten. Das leisten so genannte Abtast- und Halte-Schaltungen (sample and hold circuit)

Abbildung 6-10. (Links) Zeitlich veränderliches Signals (Rechts) Abgetastetes und gehaltenes Signal

Periodische Abtastung und Wandlungsfrequenz

Die Wandlungszeit tW kann bei periodischer Abtastung als Wandlungsfrequenz (Samplingfrequenz) fW=1/tW verstanden werden.

Jedes zeitabhängige Signal hat ein Frequenz bzw. ein Frequenzspektrum fs. Es muss das Nyquist Samplingtheorem eingehalten werden: fs ≤ 2fW. Sonst...

Abbildung 6-11. Unterabtastung und Entstehung von Scheinfrequenzen

DAC nach dem Parallelverfahren

Abbildung 6-12. Parallelverfahren und Digitalpotentiometer

Beim Parallelverfahren werden über einen Spannungsteiler alle möglichen Ausgangsspannungen mit einer Schrittweite von U LSB bereitgestellt.

Mittels eines 1-aus-n-Decoders wird der zur Binärzahl Z gehörige Schalter geschlossen, der die entsprechende Spannung abgreift und auf den Ausgang überträgt.

Man erkennt, dass für einen n-Bit-Wandler 2 n Werte und ebenso viele Schalter benötigt werden. Das Verfahren ist aufwendig und wenig gebräuchlich.

DAC nach dem Wägeverfahren

Beim Wägeverfahren wird für jede Stelle der Binärzahl Z ein Wert bereitgestellt, wobei der kleinste Wert, das kleinste Gewicht, ULSB ist.

Die einzelnen Gewichte ergeben sich als Produkt von Potenzen von 2 und ULSB

Bei einem 8-Bit-Wandler gibt es nur noch 8 Referenzen!

Abbildung 6-13. DAC-Wägeverfahren mit gewichteten Strömen

Ein anderer Weg zur Realisierung eines DAC nach dem Wägeverfahren besteht darin, die gewichteten Ströme über ein sog. R-2R-Widerstandsnetzwerk bereit zu stellen.

Abbildung 6-14. DAC-Wägeverfahren mit R-2R-Netzwerk

Es gilt für die Ausgangsspannung:

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(6-1)

Ein wesentlicher Unterschied der beiden Schaltungen besteht in folgendem

In der ersten Schaltung kommen ganz unterschiedliche Widerstandswerte zum Einsatz, die alle exakt den jeweils vorgesehenen Wert haben müssen, damit der DAC fehlerfrei arbeitet. Diese Widerstandswerte genau einzuhalten, stellt ein technologisches Problem dar, insbesondere bei Wandlern mit höherer Auflösung.

In der zweiten Schaltung mit R-2R-Netzwerk ergeben sich die Stromverhältnisse aus dem Verhältnis der Widerstände. Der Absolutwert ist nicht entscheidend. Technologisch ist die Herstellung von Widerständen mit einem bestimmten Verhältnis leichter als die Herstellung von Widerständen mit verschiedenen genauen Absolutwerten.

Ein weiterer Vorteil des DAC mit R-2R-Netzwerk ist, dass die Referenzspannungsquelle unabhängig von der Schalterstellung immer gleich belastet wird.

ADC nach dem Parallelverfahren

Abbildung 6-15. DAC vice versa: Prinzip des Parallelverfahrens

Analog-Digital-Wandler, die nach dem Parallelverfahren arbeiten, sind die schnellsten und aufwendigsten Wandler. Bei ihnen wird in einem Schritt das ganze Datenwort generiert. In solchen Wandlern wird über einen genauen Spannungsteiler und analoge Komperatoren ein 000111 Digitalwort geliefert, das über einen Prioritätendekodierer in ein binäres Digitalwort umgesetzt wird.

ADC nach dem Wägeverfahren

Wandler, die nach dem Wägeverfahren arbeiten, beinhalten einen Analogkomparator, einen D/A-Wandler, ein Approximationsregister, eine Steuerlogik und einige Analogschalter. Nach dem Approximationsregister wird das Wägeverfahren auch als SAR-Verfahren bezeichnet (successive approximation register).

Abbildung 6-16. Prinzip und Funktion eines ADC nach dem Wägeverfahren

[ad1.txt]

Es stehen Schnittstellen zur Verfügung die analoge mit digitalen Systemen bidirektional verbinden. Die Analogschlatung kann das Digitalsystem als Koprozessor verwenden, und umgekehrt das Digitalssystem kann das Analogsystem als Koprozessor verwenden.

Im analogen Bereich können besonders gut zeitkontinuierliche und differentielle Funktionen berechnet werden

Im digitalen Bereich können besonders gut zustandsbehaftete Funktionen (also Algorithmen auf Daten) berechnet werden

Halbleiterbauelemente

Bisher haben wir uns mit passiven Bauteilen (Widerstände, Kapazitäten, Induktivitäten) beschäftigt. Das einzig aktive Element war der OPerationsverstärker mit einem mathematischen Näherungsmodell.

Halbleiter

Wir unterscheiden: Leiter, Halbleiter, Isolatoren.

Spezifischer Widerstand einiger Metalle, Halbleiter und Isolatoren

Wie bei Metallen sind die elektrischen Leitungsphänomene im klassischen Halbleiter rein elektronischer Art, d.h. die Ladungsträger sind Elektronen

Grundlegend verschieden ist jedoch die Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit bei Leitern und bei Halbleitern. Bei Leitern sinkt die Leitfähigkeit mit steigender Temperatur, während sie bei Halbleitern wächst!

Alle Halbleiterbauelemente basieren auf elektrischen Leitungsphänomenen und deren Beeinflussung durch elektrische oder andere physikalische (magnetische) bzw. chemische Größen.

Halbleiterphysik und Halbleitertechnologie bilden die Basis der heutigen Elektronik.

Zur Vertiefung: Elektronik für Informatiker, Kap. 4.2 -4.3 (Halbleitermaterialien, Ausgewählte festkörperphysikalische Grundlagen).

Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit

Es wird komplizierter: Halbleiter können rein oder wie bei unseren Bauteilen mit Fremdatomen (also anderes Material) dotiert sein (eingebracht). Dann ändern sich sowohl die elektrischen also temperaturabhängigen Eigenwschaften.

Abbildung 7-1. Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit für eigenleitende (reine) und dotierte Halbleiter, schematisch

Halbleiterbaulemente

Abbildung 7-2. Halbleiterbauelemente – eine erste Übersicht

Der pn-Übergang

Als pn-Übergang bezeichnet man eine Halbleiterstruktur, in welcher ein p-leitendes und ein n-leitendes Gebiet so eng in einem Kristall benachbart sind, dass beide Gebiete miteinander wechselwirken, wodurch neue elektronische Eigenschaften entstehen.

Abbildung 7-3. (a) Ein p-Material (positive Überschussladungen, oder besser fehlende Elektronen) und ein getrenntes n-Material (negative Überschussladungen, Elektronen) (b) zusammengefügt mit Grenzfläche

Die Diode

Dioden: Bauelemente mit einem pn-Übergang

Gleichrichterdioden,

Zener-Dioden (Z-Dioden),

Leuchtdioden,

Fotodioden.

Abbildung 7-4. Schaltzeichen verschiedener Dioden

Gleichrichterdioden dienen dazu, Wechselspannung gleich zu richten, d.h. eine am Eingang der Gleichrichterschaltung angelegte Wechselspannung wird in eine pulsierende Gleichspannung am Ausgang umgesetzt. Solche Schaltungen werden in praktisch allen Geräten genutzt, die mit Wechselspannung gespeist werden, aber intern Gleichspannung benötigen.

Bei Zener-Dioden wird bei Betrieb in Sperrrichtung der Durchbruch bei einer wohldefinierten Spannung UZ technisch genutzt. Der Sperrstrom steigt dann exponentiell an und muss begrenzt werden, um die Z-Diode vor Zerstörung zu schützen. Die Durchbruchsspannung kann während des Herstellungsprozesses eingestellt werden; sie kann etwa zwischen 3 V und 100 V liegen.

Z-Dioden werden zur Spannungsstabilisation benutzt. Dazu wird die Z-Diode über einen Vorwiderstand in Sperrrichtung betrieben und über der Z-Diode wird die auf die Spannung UZ stabilisierte Gleichspannung abgegriffen

Abbildung 7-5. Diode: pn-Übergang in Sperr- und in Durchlassrichtung

Abbildung 7-6. Kennlinie eines pn-Überganges und Diodenschaltzeichen

[diode1.txt]

Für den Strom durch den pn-Übergang als Funktion der außen angelegten Spannung erhält man unter Berücksichtigung verschiedener Halbleitereigenschaften, der Dotierung und aller inneren Teilströme die Gleichung

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(7-1)

Dabei ist IS der sog. Sättigungsstrom, der sich aus Eigenschaften und Dotierung der eingesetzten Halbleiter ergibt

Näherungsweise kann man den pn-Übergang als einen von der Spannungsrichtung gesteuerten Schalter betrachten

Die Zenerdiode

Die Zenerdiode hat im "negativen" Quadranten eine weitere Leitfähigkeit ab einer bestimmten Spannung Uz, die herstellungsbedingt eingestellt werden kann (ca. 2-50V, (reversibler erster Durchbruch). Die Vorwärtspannung isthier auch ca. 0.6 V.

Abbildung 7-7. Z-Diode: Kennlinie und Einsatzschaltung, im Sperrbereich betrieben für eine definierte Spannungseinstellung.

Die Leuchtdiode

LEDs werden entsprechend in Durchlassrichtung betrieben und emittieren bei Stromfluss Licht. Der Strom durch eine LED muss begrenzt werden; dazu eignet sich ein Vorwiderstand.

Für LED’s werden Verbindungshalbleiter, wie z.B. Galliumarsenid oder Galliumphosphid ver-wendet. Die Wellenlänge (Farbe) des emittierten Lichtes hängt vom Bandabstand des Halblei-ters ab. Mit kürzer werdender Wellenlänge wächst die notwendige Brennspannung (rot: U= 1.6 V, blau: U= 2.9 V). Damit die Strahlung aus dem Gehäuse austreten kann, haben Leuchtdioden ein optisches Fenster oder ein gänzlich transparentes Gehäuse, welches in Ab-strahlrichtung des Lichtes als Linse ausgebildet sein kann.

Die Fotodiode

Fotodioden - das Gegenstück zur LED, nutzen den inneren lichtelektrischen Effekt im Raumladungsgebiet des in Sperrrichtung betriebenen pn-Überganges. Bei Belichtung des pn-Überganges werden dort Ladungsträgerpaare generiert, wenn die Energie der einfallenden Lichtquanten größer als der Bandabstandsenergie ist (wellenlängenabhängig).

Die durch das einfallende Licht erzeugten Ladungsträgerpaare werden im Raumladungsfeld des pn-Überganges getrennt und bilden den Fotostrom, der über einige Größenordnungen proportional zum Lichteinfall (Lichtintensität) ist.

Abbildung 7-8. Leucht- und Fotodiode

Der Gleichrichter

Eine Anwendung der Diode ist die Gleichrichtung von Wechselspannung in eine Gleichspannung. Besser ausgedrückt die Umwandlung eines bipolaren Signals (positive und negative Spannungen) in ein unipolares Signal (nur noch ein Vorzeichen), vereinfacht:

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(7-2)

Dabei ist die "Offsetspannung" der Diode von ca. 0.6V (bei Silizium, hier Uthr) zu beachten. Ep ist der Einfachgleichrichter (eine Diode), VP ist der Vollgleichrichter mit vier Dioden.

Abbildung 7-9. Schaltung Voll- oder Zweiweggleichrichter

Bisher haben wir für Sopannungen kleiner ca. 0.7V eine Lücke und in der Nähe nichtlinearses Übertragsungsverhalten. Diese kann aktive durch Einsatz eines Operationsverstärkers "geschlossen" werden und wir erhalten den Pärzisionsgleichrichter.

Abbildung 7-10. Präzisionsgleichrichter: Die Dioden werden in den Rpckkopplungsblock des OpAmp eingefügt.

Der Bipolartransistor

Bipolartransistoren: Bauelemente mit zwei pn-Übergängen.

Um zwei pn-Übergänge in einem Bauelement zu realisieren, sind zwei Zonenfolgen möglich, nämlich die Zonenfolgen n-p-n und p-n-p; dementsprechend spricht man vom npn-Transistor und vom pnp-Transistor

Die Elektroden heißen bei beiden Transistorarten Emitter (E), Basis (B) und Kollektor (C).

Die am Transistor anliegenden Spannungen erhalten einen Doppelindex, der angibt, zwischen welchen Elektroden die Spannung gemessen wird.

So steht UBE für die von der Basis zum Emitter gemessene Spannung, die Basis-Emitter-Spannung. Dabei gilt UBE = −UEB

Entsprechend ist UCE die Spannung zwischen Kollektor und Emitter, also die Kollektor-Emitter-Spannung und UCB die Kollektor-Basis-Spannung.

Kollektorstrom IC , Basisstrom IB und Emitterstrom IE¸ werden jeweils zum Transistor hin fließend betrachtet.

Abbildung 7-11. Bipolartransistoren, Zonenfolgen und Schaltsymbole mit Zählpfeilen

Es gilt die Knotenpunktregel für die Ströme und für Spannungen die Maschengleichung:

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(7-3)

Mit wachsender Basis-Emitter-Spannung UBE wächst der Basisstrom IB; der Zusammenhang entspricht einer Diodenkennlinie.

Mit der Basis-Emitter-Spannung respektive mit dem Basisstrom kann so der Kollektorstrom gesteuert werden. Beim normalen Betrieb ist die Spannung UBE eine Durchlassspannung; ihr Wert beträgt bei einem Si-Transistor ca. 0,7 V.

Abbildung 7-12. Transistorgrundschaltungen in Vierpoldarstellung

Die Grundschaltungen kann man mit dem Verhältnis zwischen gesteuertem Strom im Ausgangskreis und steuerndem Strom im Eingangskreis charakterisieren.

Der Quo-tient heißt Gleichstromverstärkung und wird für die Basisschaltung mit A, für die Emitter- schaltung mit B und für die Kollektorschaltung mit C bezeichnet:

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(7-4)

Abbildung 7-13. Bipolartransistor: Messanordnung zur Kennlinienaufnahme in Emitterschaltung und Kennlinienfeld, schematisch

Vier-Quadranten-Kennlinienfeld:

Quadrant, Ausgangskennlinienfeld: IC = f (UCE) mit IB als Parameter,

Quadrant, Übertragungskennlinie: IC = f (IB),

Quadrant, Eingangskennlinie: UBE = f (IB) und

Quadrant, Rückwirkungskennlinien: UBE = f (UCE) mit IB als Parameter.

Die Kennlinien sind stark nichtlinear.

Der Bipolartransistor ist also eine stromgesteuerte Stromquelle. Das unterscheidet ihn vom Feldeffektransistor, der eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle (im Ersatzmodell) ist.

Abbildung 7-14. Bipolartransistor: Kleinsignal-Ersatzschaltbild und Ersatzmodell

[npn1.txt]

Der Kleinsignalverstärker

Der Begriff Kleinsignalverhalten beschreibt, dass die Aussteuerung so begrenzt wird, dass der Zusammenhang zwischen Eingangsgrößen und Ausgangsgrößen als linear betrachtet werden kann.

Damit der Transistor als Verstärker arbeiten kann, muss ein Arbeitspunkt eingestellt werden.

Arbeitspunkt nennt man die Strom- und Spannungsverhältnisse, die an einem Bauelement oder in einer Schaltung ohne ansteuerndes Signal herrschen.

Beim Bipolartransistor wird der Arbeitspunkt durch einen Punkt in jedem Quadranten des Kennlinienfeldes repräsentiert. Die für den Arbeitspunkt notwendigen Bedingungen werden durch Beschaltung des Transistors geschaffen.

Der Widerstand RB bestimmt u.A. den Arbeitspunkt und die Verstärkung. Dieser kann an die obere Spannunsgquelle oder an den Kollektor des Transistors angeschlossen werden.

Abbildung 7-15. Einstufiger Transistor-Kleinsignalverstärker in Emitterschaltung

Die Transistorkennlinie(n) ist (sind) nichtlinear (i.A. e-Funktionen). Daher wird die Verstärkung eines (Wechsel)Signals mit einem einzigen Transistor zu Verzerrungen führen.

Abbildung 7-16. Oszillogramme von Signalen am Eingang (unten) und am Ausgang (oben) des Verstärkers

Der Feldeffekttransistor

Der Feldeffektransistor baut auf einen Kondensator (mit elektrischen Feld) auf. Aus einem Metall-Oxid-Substrat (MOS)-Kondensator entsteht ein MOSFET, indem zwei weitere Elektroden ergänzt werden. Der MOSFET Transistor ist der heute in der Technik vorherrschende Transistortyp.

Auch hier wieder pn Übergang!

Abbildung 7-17. Struktur eines MOSFET ohne und mit Spannungen, schematisch

Es gibt drei (vier) Anschlüsse:

Source (S) ∼ Emitter (E)

Gate (G) ∼ Basis (B)

Drain (D) ∼ Kollektor (C)

Substrat (B, Bulk)

Abbildung 7-18. Symbole für MOSFET-Arten

Beim n-Kanal-MOSFET fließt der Strom innerhalb des Transistors nur in n-leitenden Gebieten (Source→Kanal→Drain). Es ist nur eine Ladungsträgersorte am Stromfluss beteiligt. Entsprechendes gilt für den p-Kanal-Typ. Man spricht deshalb im Gegensatz zum Bipolartransistor hier von Unipolartransistoren.

Für jede dieser beiden MOSFET-Arten wird eine weitere Unterscheidung nach dem Verhalten bei der Gate-Source-Spannung UGS = 0 V getroffen; man unterscheidet:

selbstleitende oder Verarmungstypen und

selbstsperrende oder Anreicherungstypen.

Abbildung 7-19. n-Kanal-MOSFET-Kennlinien, schematisch

Der Feldeffekttransistor ist vereinfacht eine spannungsgesteuerte Stromquelle.

Abbildung 7-20. FET: Kleinsignal-Ersatzschaltbild

Beim Bipolartransistor war die Verstärkung durch das Verhältnis vom Emitter/Kollektorstrom IC zu Basistrom gegeben IB.

Beim Feldeffekttransistor ist es die Steilheit als:

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(7-5)

Der Sperrschicht-Feldeffekt-Transistoren (JFET)

Etwas anders als der MOSFET aufgebaut, aber ähnliches Prinzip.

Abbildung 7-21. JFET: Aufbau und Funktion, schematisch

Die Kennlinien sehen etwas anders aus und obwohl beruhend auf einer Sperrschicht in den negativen Bereich verschoben, d.h. bei UGS leitend (selbstleitend, Verarmungstyp)!

Abbildung 7-22. JFET-Kennlinien, schematisch

Abbildung 7-23. JFET-Schaltsymbole

Der steuerbare Analogschalter

Analogschalter werden technisch mit Feldeffekttransistoren realisiert.

Prinzipiell kann man mit nur einem FET einen Signalpfad trennen und wieder schließen, daher eignen sich FET Transistoren auch für die Digitaltechnik.

Der Durchgangswiderstand einer so einfachen Anordnung ist aber von der Polarität der Signalspannung abhängig.

Man verbessert das Verhalten, indem entsprechend Abb. 6.40 zwei MOSFETs unterschiedlichen Leitfähigkeitstyps parallelgeschaltet werden.

Die Steuerung der MOSFETs erfolgt mit einem digitalen Steuersignal. Das digitale Steuersignal hat nur die beiden logischen Zustände 1 und 0.

Für den zweiten MOSFET muss das Steuersignal negiert werden. Die Negation leistet ein NICHT-Gatter.

Aber: Beachte die Kennlinien von FET Transistoren und die Steuerspannung UGS. Ein Logikpegel wird i.A. durch die Spannungen 0V und z.B. 3V repräsentiert.

Würde man -UB=0V setzen können die Transistoren direkt angesteuert werden, da UGS entweder 0 (sperrend) oder +UB (leitend) für den n-Kanal Transistor ist.

Abbildung 7-24. Einfacher analoger Schalter mit einem n-Kanal FET Transistor [https://neurophysics.ucsd.edu/courses/physics_120/AoE_FET_Switches.pdf]

Da nächste Problem: Der Durchgangswiderstand eines FET (leitend) hängt von der UDS Spannung ab (also hier das Signal selber) und nimmt mit U ebenfalls zu/ab (je nach Transistortyp).

Mit zwei komplementären Transistoren (CMOS) parallel geschaltet kann man das etwas kompensieren

Abbildung 7-25. (Links) Anstieg/Abfall des Widerstands (Rechts) CMOS Analoger Schalter

Digitaltechnik Schaltungen

Digitalelektronik basiert heute meist auf MOSFET Transistortechnik. Daher ist Digitaltechnik eigentlich Analogtechnik!

Repetitorium der Digitalen Schaltungstechnik:

Boolesche Algebra für zustandslose Logik (kombinatorische Logik)

Werte 0/1 → Spannungen (oder Ströme), z.B. 0V/3V

Negierung → Not(x) → Inverter

Konjunktion → Und-Verknüpfung → Und-Gatter

Disjunktion → Oder-Verknüpfung

Zustandsbasierte (sequenzielle) Logik

Speicher, Register → Flip-Flop

Abbildung 7-26. nMOS-Inverter: Der Übergang von 1 → 0 geht "schnell", da aktiv durch den Transistor, der Übergang 0 → 1 geht "langsamer" da nur über den Widerstand (Laden eines Kondensators). Daher spricht man bei dem Ausgangspegel , 0 ist "stark", H ist "schwach".

Abbildung 7-27. (N)AND-Schaltung mit nMOS-Transistoren

Digitallogikschaltungen mit nur einer Transistorsorte können immer nur 7-26 oder [L,1] Werte ausgeben. Ein Wert ist über den Widerstand "schwach", und eine Belastung (nachgeschaltete Logikgatter) führt schnell zu einem Spannungseinbruch (und aus z.B. H wird ein ungültiger Logikpegel).

Daher brauchen wir n- und p-Kanal Transistoren, also die heute gängige Complementary MOS Transistortechnik.

Bei CMOS haben wir immer Paare von n- und p-Kanal Transistoren.

Aber: Ein p-Kanal Transistor ist niemals (technisch/physikalisch bedingt) der spigelsymmetrsiche Zwilling eines n-Kanal Transistors, und umgekehrt!

Die komplementären Transistoren sind nur "ähnlich", niemals "invers". Z.B. sind p-Kanal MOSFET langsamer als n-Kanal, die Strombelastbarkeit ist niedriger usw.

Abbildung 7-28. CMOS-Funktionsweise: Der p-Kanal Transistor befindet sich immer oben (positive Versorgungsspannung), der n-Kanal unten (Grund, 0V). Beim p-Kanal oben ist die Source oben, beim n-Kanal unten

Abbildung 7-29. CMOS-NAND Gatter

Der Differenzverstärker

Ein einziger Transistor ist durch die nichtlineare Kennlinie wenig geeignet Gleichspannungen, also unsere Variablen, zu verarbeiten und zu verstärken, wir können keine kleinen Werte relativ zu 0 verarbeiten (Offset, Nichtlinearität). Aber zwei in einer symmetrischen Schaltungen als Differenzverstärker können dieses!

Der Differenzverstärker ist die Eingangsstufe von einem Operationsverstärker und kann mit Bipolar- als auch FET Transistoren (JFET) aufgebaut werden.

Die Schaltung hat zwei Eingänge (Ue1 und Ue2) und zwei Ausgänge (Ua1 und Ua2).

Sie wird durch zwei zum Bezugspotential (Masse) symmetrische Spannungen +UB und −UB versorgt

Abbildung 7-30. Differenzverstärker, schematisch, mit bipolaren Transistoren

Bei Gleichtaktansteuerung (Ue1=Ue2) wird die Symmetrie der Schaltung nicht gestört und die Stromverteilung am Knoten A nicht verändert. Folglich entsteht bei Gleichtaktansteuerung mit kleiner Amplitude im Idealfall keine Spannungsdifferenz zwischen den Kollektoren von T₁ und T₂ und damit kein Ausgangssignal, d.h. Ua1 = Ua2.

Bei Differenzansteuerung wird die Symmetrie der Schaltung gestört und die Stromverteilung am Knoten A verändert sich und somit auich Ua1 ≠ Ua2.

Deshalb entstehen bei Differenzansteuerung zwei gegenphasige Ausgangssignale

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(7-6)

Der Differenzverstärker erzeugt eine Potentialdifferenz zwischen seinen Eingängen und seinem Ausgang. Diese Potentialdifferenz muss kompensiert werden, um Ua = 0 für Ue1 = Ue2 zu erreichen.

Um diese und die anderen oben gestellten Forderungen, wie eine hohe Verstärkung und ein geringer Innenwiderstand, zu erfüllen, sind weitere direkt gekoppelte Verstärkerstufen mit speziellen Eigenschaften erforderlich.

⇒ Operationsverstärker

Der 3-Transistor OpAmp

Abbildung 7-31. Der OpAmp3 besteht aus einem Differenzverstärker (NPN Bipolar) und einem nachfolgenden Transistor (PNP Bipolar) der die Spannungs- und Stromverstärkung übernimmt.

[opamp3.txt]

Digitale Konfiguration und Parametrisierung

Digitale Parametrisierung

Bisher gab es nur statische analoge Schaltungen die durch externe Spannungsquellen (DAC) indirekt veränderlich wurden und fest verdrahtet waren.

Jetzt wollen wir die digitale Parametrisierung von Bauteilen betrachten.

Digital einstellbare Widerstände

Digital einstellbare Kapazitäten

Digital einstellbare Widerstände

Es gibt verschiedene Möglichkeiten:

Kopplung eines lichtempfindlichen Widerstands (LDR, Cd-S Materialien) mit einem Leuchtmittel, z.B. einer Leuchtdiode

Die Lichtintensität S der LED ist ungefähr proportional zur Stromstärke I, d.h. stromsteuerbar S ∼ I

Die Lichtempfindlichkeit des LDR ist "leider" der Kehrwert einer Funktion, d.h. R=1/f(S).

Kopplung eines lichtempfindlichen Halbleiters (Fotodiode, Fototransistor / Bipolar oder FET) mit einem Leuchtmittel, z.B. einer Leuchtdiode

Die Lichtintensität S der LED ist ungefähr proportional zur Stromstärke I, d.h. stromsteuerbar S ∼ I

Die Lichtempfindlichkeit des Halbleiters ist schon "eher" proportional zu S, d.h. R=f(S).

Mit Analogschaltern und Widerstandsnetzwerken (wie bei DAC Schaltungen).

Mit geschalteten Kapazitäten!

Der LDR

Abbildung 8-1. Drei unterschiedlich große Cadmiumsulfid-Fotowiderstände neben einer Millimeterskala. Die auf jedem Gerät sichtbare mäanderförmige Spur vergrößert die beleuchtete Fläche und verstärkt die Widerstandsänderung mit Licht.

Es gilt:

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(8-1)

wobei S₀ eine Referenzintensität ist und γ eine empirisch zu ermittelnde Exponentkonstante.

Der Opto LDR

Abbildung 8-2. LunaInc LDR Optokoppler und Kennlinie

Der Opto FET

Abbildung 8-3. OptoFet von Onsemi (H11F1M). Der FET hat nur einen kleinen Übetragungsbereich, d.h. wo der Widerstand konstant in Abhängigkeit von der FET Spannung *V*~46~ ist. D.h. nur für Kleinsignalanwendungen < ±0.1V geeignet.

Ansteuerung der LED

Man benötigt eine steuerbare Stromquelle, d.h., I(U)

Abbildung 8-4. Spannungsgesteuerte Stromquelle mit einem OpAmp: *R*~V~ ist der Verbraucher (Stromsenke). (a,b) I=U~e~/R~M~ (c) I=(U~3~−U~1~)/R~3~

Jetzt muss aber die Steuerspannung Ue noch digital erzeugt werden!

Besser: Pulsweitenmodulation einer konstanten Spannung! Diese kann digital über getaktete digitale Zähler erfolgen, und Auflösungen von 12-16 Bit liefern, d.h. die Auflösung bestimmt die An- und Auszeiten eines Digitalsignals.

Digitale Pulsweitenmodulation

Abbildung 8-5. Ein digitaler Pulsweitensignalgenerator. Es gibt einen digitalen Zähler und einen digitalen Komparator. Wenn der Zählerwert kleiner als der vorgegebene Digitalwert ist wird der Ausgang 0 sein, ist er größer dann 1. Der Zähler fängt nach dem maximalwert wieder bei Null an. Mit einem Tiefpassfilter ergibt sich ein mittlerer Strom (oder mittlere Spannung) die proportional zum dem Tastverhältnis ist, also der An/Auszeit.

Geschaltete Kapazitäten als Widerstände

Eine wichtige Klasse von analogen integrierten CMOS-Schaltungen sind Schaltkondensatorschaltungen (SC), bei denen hochpräzise Widerstände mit großen Widerstandswerten durch Schalter und Kondensatoren implementiert werden.

Abbildung 8-6. SC Widerstände. Die Schalter können wieder durch (MOS)FET realisiert werden. Es muss hier die frequenz variiert werden um einen effektiven Widerstand R einzustellen.

Abbildung 8-7. SC Widerstände. Ersatzschaltbild.

Idealerweise ist der Widerstand:

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(8-2)

Vergleich

Methode | Vorteile | Nachteile
LDR | Großer Widerstandsbereich, Widerstand nahezu unabhängig von Signalspannung, bipolare Signalspannungen möglich, mittlerer Strombelastbarkeit, hohe Signalspannungen möglich (50V) | Widerstand ist Kehrwert einer Funktion der Intensität, langsame Änderung/Abklingen (bis zu 30 s von hell nach dunkel Übergang), träge, nicht integrierbar da CdS temperaturempfindlich ist und einen Lötprozess nicht "überlebt"
Opto-FET | Großer Widerstandsbereich, tendenziell proportionale Abhängigkeit des Widerstands von Lichtintensität, mittlere Strombelastbarkeit, integrierbar, schnelle Reaktion | Nichtlinearität des Widerstands mit Signalspannung, nur einsetzbar für niedrige Signalspannungen
Pulsweitenmodulation | Einfach digital umsetzbar und progranmmierbar | Die An/Austastung erzeugt insgesamt ein Rechtecksignal mit niedriger Frequenz (z.B. fclk=20 MHz, Tastverhältnis 50%, n=12 Bit, fsig=2.5 kHz, bei n=16 Bit dann 150 Hz!), Steuersignal kann sich auf eigentliches Signal überlagern
Geschaltete Kondensatoren | Einfach aufzubauen | Variable Frequenz erforderlich und schwieriger zu erzeugen, Schaltfrequenz überlagert sich zum Signal und muss gefiltert werden und begrenzt obere Frequenz des Signals selber (Samplingtheorem!)
Schaltnetzwerke mit Analogschaltern | Klar definierte diskrete Widerstandswerte | Hoher Schaltungsaufwand, nur wenige diskrete Widerstandswerte möglich, bei linearen Netzwerken nimmt der Diskretisierungsfehler (auflösung) mit kleiner "Bitwerten" stark zu

Vergleich verschiedener veränderlicher und digital steuerbarer Bauteile (Widerstände)

Digitale Konfiguration

Die Konfiguration einer Analogschaltung ist durch die Netzliste der Bauteile (Verbindungsgraph) gegeben, die frei konfigurierbar sein sollte. Die Parametrisierung ist i.A. ebenfalls Bestandteil, d.h., gegebene Bauteile in ihrem Wert ändern.

Analogschalter und Analog-Multiplexer

Analogschalter werden technisch mit Feldeffekttransistoren realisiert.

Prinzipiell kann man mit nur einem FET einen Signalpfad trennen und wieder schließen.

Der Durchgangswiderstand einer so einfachen Anordnung ist aber von der Polarität der Signalspannung abhängig.

Abbildung 8-8. Analogschalter, schematische Innenschaltung und symbolische Darstellung

Analogschalter gibt es in vielfältigen Ausführungen. Analog zu mechanischen Schaltern gibt es Analogschalter als:

einfache ein- oder mehrpolige Schalter,

ein- oder mehrpolige Umschalter, die pro Schalter eine Auswahl zwischen zwei Leitungs- bzw. Signalpfaden ermöglichen und

Analogmultiplexer, also Umschalter mit mehreren Ausgängen, was eine Verteilung von Signalen auf verschiedene Ausgänge bzw. eine Auswahl verschiedener Eingangssignale ermöglicht.

Abbildung 8-9. Analogschalter, Umschalter und Analogmultiplexer

Die Steuereingänge an Analogschaltern sind Digitaleingänge, das heißt, diese Eingänge werden mit Digitalpegeln bedient. Es ist mindestens ein digitaler Steuereingang erforderlich.

Analogmultiplexer haben Adresseingänge; zur Auswahl einer Adresse sind bei 2n Ein- bzw. Ausgangsleitungen n Adressleitungen erforderlich.

Vielfach haben Analogschalter noch weitere Steuereingänge wie Chip-Select, Enable oder Power-Down, deren Funktion den jeweiligen Datenblättern zu entnehmen ist.

Generell gilt, dass die Spannungen am Signalpfad eines Analogschalters die Spannungen +UB bzw. −UB nicht über- bzw. unterschreiten dürfen.

Um für Spannungen ober- bzw. unterhalb der Betriebsspannung einsetzbar zu sein, verfügen bestimmte Analogschalter über interne Gleichspannungswandler, sog. DC/DC-Wandler, mit deren Hilfe die Betriebsspannung für den Schalter auf dem Chip vergrößert wird.

Wesentliche elektrische Parameter von Analogschaltern sind:

der Durchlasswiderstand (On-Resistance, Größenordnung: < 1 Ω bis wenige Ohm),

die Gleichheit der Durchlasswiderstände bei verschiedenen Kanälen (On-Resistance Matching Between Channels, Größenordnung: < 1 Ω bis wenige Ohm)

die Schaltzeit für das Ein- (ton) bzw. Ausschalten (toff , Größenordnung: einige ns),

maximale Signalspannung, Betriebsspannung und Logik-Pegel.

Programmierbare Verstärker

Um bestimmte Eigenschaften eines Verstärkers digital programmierbar zu machen, werden in den Signalpfad oder einen Rückkopplungspfad Analogschalter oder Analogmultiplexer eingefügt. Diese erlauben es, mit digitalen Steuersignalen Verstärkung oder Frequenzgang zu ändern oder einen von mehreren Eingangs- oder Ausgangskanälen auszuwählen.

Invertierender Verstärker mit digital programmierbarer Verstärkung

Abbildung 8-10. Parametrisierung durch Konfiguration (Verschaltung)

Bei einer linearen Gewichtung der Widerstände R20-R23 kann man nur vier diskrete verschiedene Verstärkungen einstellen (oder n). Es ist immer nur ein Schalter geschlossen.

Man kann wie bei den Digital-Analog Wandlern aber auch eine potenzierte Gewichtung verwenden, d.h. auch mehrere Schalter können geschlossen werden, und es wird z.B. gewählt R21=R20/2, R22=R21/2, usw.

Abbildung 8-11. Adresse und Verstärkung bei linearer Gewichtung

Matrixschalter

Bisher haben wir 1:1, 1:n oder n:1 Schalter betrachtet.

Für vollständig konfigurierbare (schaltbare) Analogschaltunge, d.h., mit freier Verschaltung von Ein- udn Ausgängen anstelle von manuell gesteckten Kabeln, wird ein n × m Matrixschalter benötigt.

Ein n × m Matrixschalter kann prinzipiell aus m 1:n Multiplexern aufgebaut werden und erlaubt die beliebige Verschaltung der n Anschlüsse (nennen wir sie die x Seite) mit jeden anderen der m Anschlüsse (nennen wir sie die y-Seite).

Abbildung 8-12. Analog Devices AD75019 16 × 16 Kreuzmatrixschalter

Zusammenfassung

Es gibt verschiedene Methoden Widerstände digital adaptiv in Anlogrechner zu integrieren. Die Methoden haben alle Vor- und Nachteile. Damit wird ein Analogrechner parametrisierbar.

Anlogschalter basierend auf (MS)FET Bauteilen können verwendet werden um eine Schaltung auch vom Verbindsgraph konfigurierbar zu machen.

Vollständige Kreuzmatrixschalter haben eine (∼ quadratische) Komplexität von N × M Schaltelementen, der Aufwand ist hoch. Will man einen Operationsverstärker mit wenigstens 4 Widerständen frei verschalten braucht man schon eine 11 × 11 Matrix.

Analogschalter brauchen einen Levelshifter für das Steuersignal wenn bipolare Signale (pos./neg. Werte) verarbeitet werden sollen (und neg. bezugspotenzial).c.c

Analoges Rechnen und Numerik

Der Operationsverstärker als Differenzverstärker ist die Elementarzelle um numerische Berechnungen durchzuführen und bietet eine mittlere Abstraktion, aber schon eine bijektive Abbildung von mathematischen Modellen auf Schaltungen und umgekehrt.

Addition

(Wiederholung)

Der Addierer ist invertierend und zugleich eine MAC Einheit (Multiply and Accumulate)

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(9-1)

Auch gewichtete Teilausdrücke können mit Summierern direkt aufgebaut werden.

Ein Beispiel:

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(9-2)

Abbildung 9-1. Die Schaltung zu obiger Funktion. Die Halbierung der ersten teilasudrucks erfolgt durch Rückkopplung.

Subtraktion

(Wiederholung)

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(9-3)

Multiplikation

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(9-4)

Abbildung 9-2. Abstrakte grafische Symbole von Multiplizierern ohne und mit Differenzbildung am Eingangsoperanden sowie ohne und mit Negierung.

Aber wie können wir einen Multiplizierer mit einem OpAmp implementieren?

Multiplikation durch Addition

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(9-5)

Abbildung 9-3. Zurückführen einer Multiplikation auf eine Addition im logarithmischen "Raum" (zur Basis 10).

Aber wie können wir den Logarithmus und die inverse Funktion mit OpAmps berechnen?

Logarithmus

Wir benötigen ein Bauteil mit exponentieller Kennlinie (Diode!) die wir mit einem OpAmp verschalten müssen (Rückkopplung).

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(9-6)

Abbildung 9-4. Die einfache Schaltung zur Logarithmierung (Basis e, also nat. Log.). ID ist der aktuelle Strom durch die Diode, und IS der Sättigungsstrom (max.) der Diode, und VT die thermische Spannung (bauteilspezifisch). [Wikipedia]

Der Sättigungsstrom ist abhängig von der Temperatur und anderen Größen. Keine Konstante! Die einfache Schaltung wird zeitlich variierende signifikante Berechnungsfehler liefern. Und VT hängt auch von der Temperatur ab!

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(9-7)

Abbildung 9-5. Die Logarithmierung mit einem Transistor in der Rückkopplung mit besseren und stabileren Eigenschaften (durch das Verhalten des Transistors und den Einfluss der BE Spannung) [Wikipedia]

Division

Die Didvision ist die inverse Funktion der Multiplikation.

Entweder wieder über Logarithmen oder durch Funktionsinvertierung

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(9-8)

Abbildung 9-6. Division als inverse Funktion der Multiplikation: Der Multiplikator wird in die Rückkopplung (Gegenkopplung) eines Summierers eingefügt.

Quadrieren

Durch Mulitplikation x \* x

Abbildung 9-7. Die Eingangsvariable *x* wird auf beide Anschlüsse des Multiplizierers gelegt.

Quadratische Wurzel

Berechnung der inversen Funktion der Quadratur.

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(9-9)

Abbildung 9-8. Quadrierer in der Rückkopplung eines negierenden Summierers (SJ ist direkt der invertierende Eingang des OpAmp, Stromeingang). Die Diode ist notwendig um eine Nullung für negative *x* (hier als positive) zu erreichen.

Funktionsinversion

Der inervtierende Eingang eines Operationsverstärkers ist nicht nur der subtrahierende "Operand", sondern in der Rück- und Gegenkopplung nutzbar um eine Funktionsinversion zu berechnen. Damit können wir mit einem OpAmp ein inverses Problem lösen, was digital numerisch meist nur mit großen Aufwand und approximativ möglich ist!

Abbildung 9-9. Durch die Negierung des Summierers muss die Eingangsvariable ebenfalls negiert werden.

Lösen von linearen Gleichungssystemen

Das Lösen einen linearen Gleichungssystems erfolgt numerisch iterativ indem Gleichungen voneinander subtrahiert werden bis nur noch eine Gleichung mit einer Variable übrig bleibt, diese wird ausgrechnet, und dann mittels Rückwärtssubstitution in die vorherigen rduzierten Gleichungen eingesetzt, bis alle Variablen berechnet wurden.

Oder man bedient sich der Matrixalgebra (LGL als Matrixgleichung) und wendet matrixinversion an. Ein rein funktionales Verfahren.

Oder man verwendet gekoppelte Operationsverstärker (Addierer, Summierer)!

Ein Beispiel (nach Ndanusa, B., Adamu, Y., and Gbedako, A. A., 2016):

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(9-10)

Abbildung 9-10. Schaltung für x=20-1.5y (umgestellt, hier rechter Ausdruck in der Form f(a,b)=a-b als gewichteter Subtrahierer

Die Verwendung eines gewichteten Subtrahierers mit einem OpAmp ist etwas kompliziert zu berechnen. Besser zwei invertierende gewichtete Addierer und ein Differenzverstärker mit G=1, also der symmetrische Instrumentenverstärker.

Die Ausgangsspannung eines gewichteten Subtrahierers mit einem OpAmp ist gegeben durch (R1,R2: invertierender Zweig, R3,R4: nicht invertierender Zweig):

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(9-11)

Die Verstärkung (Gewichtung) des positiven Operanden Ue1 hängt auch von der Beschaltung des invertierenden Zweigs ab.

Abbildung 9-11. Die theoretische Herleitung für den OPV als Differenzverstärker kann für die oben gezeigte Schaltung mithilfe der Maschengleichungen erfolgen. Vorausgesetzt wird, dass in die Eingänge des OPVs, wie in der Praxis nachweisbar, keine Eingangsströme fließen und die Spannungsdifferenz zwischen den Eingängen E+ und E− null ist. [https://www.elektroniktutor.de/analogverstaerker/subtra.html]

Die gleiche Vorgehensweise für die zweite Gleichung. Jetzt müssen beide Gleichungen gegeben durch die Subtrahierschaltungen gekoppelt werden ...

Abbildung 9-12. Der Analogrechner für das gleichzeitige Lösen der gekoppelten Gleichungen 2x + 3y = 40 und 2x + y = 5.

Abbildung 9-13. Allgemeinere Schreibweise mit Analogrechneroperationen (Einheitsaddierer, Skalierer, Inverter)

[lglsolverop1.txt]

Diese direkte Architektur ist i.A. nicht brauchbar. Wir haben eine algebraische Schleife, eine zweifache Rückkopplung ohne Integration. Instabilität kann und wird die Folge sein, d.h. ein oszillierendes und ggfs. divergierendes Verhalten (wie gezeigt).

Schon kleinste Signalverzögerung kann zur Divergenz der gesamten Schaltung führen. Kapazitäten bewirken dieses (als Ladungsspeicher), und diese existieren als parasitäre Kapazitäten überall (auch im realen OpAmp).

Abbildung 9-14. Beispiel des Divergenzverhaltens der direkten Lösung und Schaltung, hier mit drei Variablen (und drei Gleichungen) [Ulmann, Killat, 2019]

Aber was tun? Wir brauchen "dämpfende" Operationen, ein Frequenztiefpass um Oszillationen zu vermeiden. Der Integrator ist ein Frequenztiefpassfilter!

Wie bei der Mulitplikation müssen wir die Kopplung der Gleichungen durch transformierte Funktionale ersetzen.

Bei der Multiplikation war es die Logarithmierung

Bei der Lösung von LGS ist es die Integration.

Nach Ulman und Killat (Ulmann, Bernd, and Dirk Killat. "Solving systems of linear equations on analog computers." 2019 Kleinheubach Conference. IEEE, 2019) ist das LGS Problem folgend zu formulieren:

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(9-12)

Die Grundidee besteht darin, ein lineares Gleichungssystem in ein System gekoppelter Differentialgleichungen umzuwandeln.

Es ist zu beachten, dass das Lösen solcher Gleichungen durch einen Analogrechner ein kontinuierlicher Prozess ist, d. h. es gibt keine diskrete Schrittweite wie bei klassischen numerischen Algorithmen.

Zu diesem Zweck wird der Lösungsvektor x mit einem initialen Anfangswert gesetzt und ein Fehlervektor ε verwendet, um diese anfängliche Schätzung von x zu korrigieren.

Wir erhalten (Matrixalgebra mit Analogrechnern!):

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(9-13)

Beispiel:

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(9-14)

Abbildung 9-15. Die Schaltung mit Integratoren [Ulmann, Killat, 2019]

Mit der indirekten Berechnung der Lösung des LGS über Integration kann Divergenz vermieden werden.

Abbildung 9-16. Kein Divergenzverhalten der indirekten Berechnungsschaltung [Ulmann, Killat, 2019]

Matrixalgebra

Zusammenfassend kann man die Berechnung (Lösung) von

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(9-15)

als Matrixproblem übertragen auf ein integrierendes analoges System verstehen.

Neben assoziativen Speichern (die z.B. in Memory MAC Operationen ausführen) eine Möglichkeit ohne Algorithmik Lösungsberechnungen analog durchzuführen.

Aber: Die "Rechenzeit", d.h. die Zeit bis sich stabile Ergebnissignale an den Ausgängen eingestellt haben kann je nach Wahl der Zeitkonstante des Integrators (also der Kapazität des rückkoppelnden Kondensators) im ms Bereich liegen. Also nicht viel besser als bei digitalen Systemen.

Geht es jedoch um die Minimierung der Schaltungsrresourcen (Transistoranzahl) sind wir analog im Vorteil.

Analog (3 × 3 Matrix A): (3+3+3) OpAmps × Topamp=90, Topamp ∼ 10,

Digital: ca. 100000 Transistoren (FPU!)

Abbildung 9-17. Die Analogberechnung von Ax=b mittels Integratoren.

Integrieren

(Wiederholung)

Ein Funktion f(x( muss in eine zeitabhängige Funktion f'(t) überführt werden.

Am Beispiel der Lösung eines LGS waren weitere Integratoren die Eingangsfunktion für einen Integrier (gekoppelte Integrierer)

Die Kopplung von Integrierern ergibt gekoppelte DIfferentialgleichungen.

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(9-16)

Abbildung 9-18. Integrator mit dem invertierenden Verstärker. [Ross et al.]

Differenzieren

(Wiederholung)

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(9-17)

Abbildung 9-19. Invertierender Differenzierer mit Eingangsruhestromkompensation (TB+, optional). [Siegel et al., 2018]

Lösen von Differentialgleichungen

Mehr Infos in: B. Ulmann, Analog and Hybrid Computer Programming. De Gruyter, Oldenbourg, 2023

Abbildung 9-20. How to program an analog computer, Truitt et al. 1960, p. 1-108

Obwohl das Lösen eines Problems auf einem Analogrechner grundsätzlich die gleichen Voraussetzungen hat wie das Programmieren eines Digitalrechners, unterscheidet sich der eigentliche Programmiervorgang erheblich von dem heute vorherrschenden algorithmischen Ansatz. Abbildung

Zunächst muss das zu untersuchende Problem untersucht und eine mathematische Darstellung, typischerweise ein System gekoppelter Differentialgleichungen, kurz DEQs, abgeleitet werden.

Ab hier gehen die digitalen und analogen Wege der Programmierung schnell auseinander.

Auf einem digitalen Computer bilden diese Gleichungen die Grundlage für einen Algorithmus, der schrittweise ausgeführt wird.

Bei der Programmierung eines Analogrechners werden die gleichen Gleichungen in ein Patch-Setup umgewandelt, das bestimmt, wie die verschiedenen Rechenelemente miteinander verbunden sind. Dieses Setup wird als analoges Computerprogramm bezeichnet.

Der Digitalrechner approximiert mit Algorithmen die schrittweise Berechnung, der Analogrechner simuliert die mathematischen Modelle.

Formen von Differentialgleichungen

Wir unterscheiden:

Lineare;

Nichtlineare;

Gewöhnliche;

Nichtgewöhnliche;

Uni- und multivariat (eine oder mehrere unabhängige Variablen).

Gewöhnliche DGL (ODE)

Die Form ist eine Funktion wie:

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(9-18)

Eine unabhängige Variable (y)

Nur lineare Terme von (y)

Aber auch höhere Ableitungen von y, hier nach der Zeit t

Die höchste Ableitung bestimmt die Ordnung der DGL

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(9-19)

Das atomare Zerfallsgesetz

Als einleitendes Beispiel wird das Verhalten des radioaktiven Zerfalls mit einem Analogrechner detailliert untersucht. Die meisten chemischen Elemente kommen in verschiedenen Isotopen vor, die die gleiche Anzahl von Protonen im Kern haben, sich aber in ihrer jeweiligen Anzahl von Neutronen unterscheiden. Nicht alle dieser Isotope sind stabil. Einige sind instabil und diese emittieren typischerweise Teilchen wie ein α- oder β-Teilchen (ein Heliumkern bzw. ein Elektron) oder elektromagnetische γ-Strahlung. Dies sind die häufigsten, aber keineswegs die einzigen Möglichkeiten, wie instabile Isotope durch radioaktiven Zerfall in andere Isotope umgewandelt werden können.

Für die Anzahl der Zerfälle N gilt (ODE), und sogar zeitabhängig:

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(9-20)

Analytische und numerische Lösung

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(9-21)

Simulation mit Analogrechner

Abbildung 9-21. (a) Initiale Schaltung (b) Finale Schaltung mit Initialisierung (N0)

Das mathematische Pendel

Abbildung 9-22. Schwingung eines Pendels

Auf die Masse m wirkt die Kraft Fg = mg, die durch die Erdbeschleunigung (Gravitationsfeld, Schwerkraft, "Erdbeschleunigungskonstante" g) verursacht wird. Dies kann in zwei tangential (Ft) und radial (Fr) auf die Masse wirkende Kräfte aufgelöst werden:

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(9-22)

Ft ist die Rückstellkraft, die die Masse in ihre Ruhelage zurücktreibt. Es verursacht eine tangentiale Beschleunigung:

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(9-23)

mit l als Länge des Pendelstabs und α ist der Auslenkungswinkel bei einer Schwingung.

jetzt können wir eine DGl formulieren:

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(9-24)

Analytisches Lösen

TODO (etwas Arbeit und Denken ...)

Simulation mit Analogrechner

Abbildung 9-23. Simulation der DGL des Pendels mit einem Sinusgenerator

Der Wellengenrator als DGL

Eine Sinusschwingung entsteht in dem ein Signal vom Ausgang zeitlich verzögert (phasenverschoben) auf den Eingang rückgekoppelt wird - diesmal als Mitkopplung. Es entsteht eine Schwingung. Diese Eigenschaft können wir aber auch über eine DGL beschreiben:

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(9-25)

Abbildung 9-24. Minimale Schaltung für die Sinuswellenerzeugung mit zwei Integrieren und einem Negierer. Hier ist ω=1 fest.

Abbildung 9-25. (Links) Parametrisiervbare Schaltung für die Sinuswellenerzeugung mit zwei Integrieren und einem Negierer. Hier ist ω variable (über die Skalierung) (Rechts) Zeitabhängiges Ausgangssignal

Softwareentwurf von Analogrechnern

Bisher waren die Schaltungen gegeben oder wurden manuell aus mathematischen Modellen und Funktionen abgeleitet. Das Ziel ist aber der automatisierte Entwurf von Analogrechnern.

Simulation ist ein Hilfsmittel das Verhalten von Analogschaltungen zu untersuchen und zu analysieren.

Aber wie kann man automatisiert eine Analogschaltung aus mathematischen Funktionen und Daten ableiten? Wir wollen dies am Beispiel des Analogen Künstlichen Neuronalen Netzwerks begreifbar machen.

Künstliche Neuronale Netzwerke

Abbildung 10-1. Bei der Lösung von DGL hatten wir dynamische (transitorische) Systeme. Bei der Berechnung von KNN Modellen sind wird wirder im stationären (funktionalen) Bereich. [Bosse, 2025, SysInt Conference]

Abbildung 10-2. Bei den Technologien unterscheiden wir statische und dynamische Schaltungen. Die KNN Modelle sind i.A. statisch aber parametrisierbar. [Bosse, 2025, SysInt Conference]

Abbildung 10-3. Algorithmisch können wir verschiedene Verfahren verwenden um Analogschaltungen und Analogrechner zu entwerfen. [Bosse, 2025, SysInt Conference]

Im Prinzip ein universeller nichtlinearer Funktionsapproximator aus Daten.

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(10-1)

Der Funktionsapproximator - das KNN Modell - hat eine feste Struktur (d.h. auch die Analogschaltung ist fix in ihrem Aufbau), ist aber parametrisierbar. Die Parameter werden bestimmt (iterativ angepasst) indem der Fehler des Modells minimiert wird: Maschinelles Lernen aus Daten. Die Daten können experimentell sein oder durch eine anzupassende Funktion gegeben sein.

Abbildung 10-4. Das Modell wird aus Beispielsdaten **D**=(*x*,*y*~0~) trainiert indem die Parameter des Modell (*k*,*b*) schrittweise durch eine Rückwärtsanpassung mit dem aktuellen Modellfehler |y-y~0~| verändert werden bis der Fehler minimal wird.

Das Analoge Künstliche Neuron

Das mathematische Modell soll auf eine analoge Schaltung abgebildet werden.

Wir benötigen:

Einen Verstärker mit Produktsummenfunktion (also invertierender Verstärker / Addierer)

Eine nichtlineare Aktivierungsfunktion (typisch die auf der Exponentialfunktion basierende sigmoid Funktion)

Die Neuronfunktion kann mit positiven und negativen Gewichten (Parametern) besetzt sein. Bei einem invertierenden Addierer sind die Gewichte aber immer positiv (bzw. durch die Negierung am Ausgang äquivalent negativ).

Abbildung 10-5. Die Produktsummenberechnung mit invertierenden Addierer. Die Gewichte sind jeweils Verstärkungsfaktoren *k*~i~=*R*~0~/*R*~ki~

Wir müssen also einen Differenzverstärker (Subtrahierer) verwenden um sowohl positive wir auch negative Gewichte nutzbar zu machen.

Für die negativen Gewichte kann man die Widerstände unabhängig berechnen

Für die positiven Gewichte wird es komplizierter und mit Seiteneffekt auf die negativen (Gesamtverstärkungsfaktor ändert sich)

Abbildung 10-6. Subtrahierer für Produktsummenberechnung

Daher müssen wir auf den Instrumentenverstärker zurückgreifen der aus zwei invertierenden Addierern und einem (festen) Subtrahierer besteht. Hier können wir die positiven und negativen Gewichte unabhängig einstellen. Wichtig: Ein Gewicht k ist entweder an den negativen oder den positiven Zweig anzuschliessen!!

Abbildung 10-7. Instrumentenverstärker für Produktsummen Berechnung

Abbildung 10-8. Die analoge Implementierung eines Neurons eines AKNN mit drei OpAmp3 Stufen und einer weitern Schaltung für die sigmoid Aktivierungsfunktion.

Numerisches Training eines KNN

Ausgangslage:

Eine Datentabelle mit Beispielen in der Form D=(x,y)

Beispiel: IRIS Klassifikationsdatensatz mit vier numerischen Eingangangsvariablen und drei Klassen (drei Ausgangswerte für drei Klassen)

Ein KNN mit 3 + 3 Neuronen, als rein numerisches funktionales Modell implementiert.

Training durch Rückpropagation des Fehlergradienten

Aber halt: Wir erhalten hiermit z.B. Gewichtungsparameter mit Werten über 100. Unser OpAmp3 hat aber nur einer Leerlaufverstärkung von ungefähr 100. Und numerische Werte als Ergebnis einer Produktsummeneberechnung können größer 10 sein! Die Kennlinie unseres OpAmp3 hat nur einen Aussteurungsbereich (deutlich) kleiner 10 V. Und die sigmoid Schaltung hat den Ausgangsspannungsbereich [0,3V]!

Das Funktionsnetzwerk

Abbildung 10-9. Das Metamodell eines AANN (gerichteter Funktionsgraph) zur Klassifikation von Pflanzen anhand metrischer Parameter

Numerisches Training eines KNN

Wir müssen das numerische Modell verbessern und wenigstens auf die Eigenschaften des idealen Operationsverstärkers begrenzen:

Begrenzung der Werte der Produktsummenberechnung auf [-10,+10] (oder kleiner).

Begrenzung der möglichen Gewichte auf [0,10].

Skalierung der sigmoid Funktion auf Ausgangswerte von [0,3] und eine Skalierung der Eingangswerte mit einem konstanten Faktor.

Übertragung auf AKNN

Die Parameterwerte aus dem numerischen Training mit dem modifizierten KNN Modell müssen in Widerstandswerte umgerechnet werden.

Theoretisch mit dem mathematischen OpAmp Modell, aber durch Nichtlinearität der OpAmp3 Schaltung mit Korrekturfunktionen.

Eingangsvariablen sind jetzt skalierte Spannungen im Bereich [0,1V].

Ausgangsspannung ist pro Klassifikationsneuron [0,3V].

Test des AKNN durch digitales Schnittstelle mit AD und DA Wandlern vom Computer aus (oder exemplarisch unabhängig mit einstellbaren Spannungsquellen).

Funktioniert schon! Klassifikationsfehler < 20% (für alle 151 Beispielsinstanzen)

Abbildung 10-10. Einstellung der Parameter mit einstellbaren Widerständen. Sehr mühsam, nur proof of concept!

Digitale Zwillinge

Bisher wurde ein doch sehr grobes numerisches Modell der Analogschaltung eines Neurons verwendet.

Bei Verwendung technisch guter OpAmps (nahe dem idealen Operationsverstärker) wären schon fertig.

Bei diesem sehr einfachen OpAmp3 sind die Abweichungen vom idealen Operationsverstärker aber zu groß.

Die Abweichungen müssen erfasst werden durch:

Reale Messungen

Simulation

Ein Ersatzmodell (aus Simulation oder realen Messungen) dass die Übertragungsfunktion eines Neurons approximiert (aber numerisch schnell berechenbar ist) ⇒ Wieder ein KNN!!!

Das Bipolare Modell

Abbildung 10-11. Verbessertes Bipolares numerisches Modell (hier U~a~(I~x~)!!!, CCVS Modell) - Aufteilung der Eingänge, aber parallele Anschluss einer Eingangsvariable an pos. und neg. Zweig.

Training Reloaded

Bisher wurde eine analytische Funktion für die Neuronfunktion verwendet. Das Training benötigt den Gradienten dieser Funktion. Bei der analytischen Funktion einfach. Bei irgendeiner Funktion oder einem Ersatzmodell müssen wir auf numerische Differenzierung umsteigen (hey, kann analog sein!!)

Abbildung 10-12. Numerische Differenzierung des Neuronfunktion *f* und Anpassung der Gewichte über den aktuellen Fehler *e* des Modells.

Die Anpassung der Gewichte durch den Fehlergradienten funktioniert dann stabil und zielführend wenn die Funktion f und der Gradient der Funktion streng monoton sind. Das Ersatzmodell des digitalen Zwillings zeigt ebenso wie die analoge Schaltungen aber an den Rändern eine Umkehr der Steigung. Das führt zu hoher Instabilität des numerischen Trainings.

Noch eine wichtige Randbedingung: Die Parameter des Modells werden üblicherweise mit einer stochastischen Verteilungsfunktion (also randomisiert) initialisiert um eine Startbedingugn für dasd Minimierungsproblem unabhängig von den Daten zu erzielen.

Beobachtung bei nicht monotoner Funktion f: Hin und wieder konvergeiert das Training auf gute Ergebnisse, oft divergiert es.

Aber wir können Brute Force machen: Das Training so lange neu starten (und randomisiert die Parameter initialisieren) bis eine gute Lösung gefunden wurde (dann auch häufig mit schneller Konvergenz)

Brute Force kann jeder. Geht es besser?

Wir versuchten eine Pre-Training des Modells mit Simmulierter Abkühlung:

Der Paramersatz wird hier randomisiert verändert bis eine bessere Lösung (also kleinerer fehler) gefunden wird (iterativ)

Die randomosoerte Anteil wird ovn Iteration zu Iteration verringert (Stabiliserung, Abkühlung)

Nicht befangen durch nicht monotone Funktionen (hier vollständies Blackbox Modell)

function SA(data, params, num_steps=1000, noise=0.01, cooling=0.999) {
  initial_params=optimal_params=best_params=params; temp=1.0
  new_loss = best_loss = loss(data,params)
  for(i=1,num_steps) {
    temp=temp*cooling
    new_params = params.map(p => p+gaussianRandom(0, noise))
    new_loss = loss(data,new_params)
    if (new_loss < best_loss || random()*temp > best_loss/new_loss) {
      params = new_params
      if (new_loss < best_loss) { optimal_params = params; best_loss = new_loss }
    }
  }
}

Algorithmus 10-1. Simmulierte Abkühlung zur Lösung von Minimierungsproblemen)#

Workflow

Abbildung 10-13. Die Arbeitsabläufe als Hybrider Ansatz

Der Workflow

Abbildung 10-14. Die Details der Einbindung des digitalen Zwillings (eines Teils) der Elektronikschaltung [Bosse, Proc. of the 7th International Conference on System-Integrated Intelligence (SysInt 2025)]

Live Demo: Der Demonstrator

Die Ergebnisse

Verwendung des einfachen numerischen Modells mit Parameter- und Wertbegrenzung:

Schaltung funktioniert mit Korrekturfunktionen für die Berechnung der Parameterwiderstände, Klassifikationsfehler < 30%

Training: stabil konvergierend (obwohl Unstetigkeit durch Clipping!)

Verwendung des elektronischen Ersatzmodells (Stromeingang, Spannungsausgang) aus Simulation:

Schaltung funktioniert, keine Korrektur der Parameterwiderstände erforderlich

Klassifikationsfehler < 20%

Training: instabil. nur selten konvergierend (Nichtmonotonie des Ersatzmodells), Pre-training mit SA brachte keine Verbersserung

Kopplung des Analogrechners mit Computer über AD und DA Schnittstellen (12 Bit Auflösung)

Der Klassifikationsfehler hängt von der Reihenfolge der getesteten Dateninstanzen ab (151)

Grund: Thermische Drift durch unetrschiedliche Aktivierung der Elektronikkomponenten!

Die Verwendung von bipolaren NPN und PNP Transistoren (stromgesteuerte Stromquelle) führt zu hoher elektrischer Ruheleistung und Erwärmung (ca. 15 W bei 6 Neuronen, siehe auch 3.)

Abbildung 10-15. Thermografiebild der Schaltung nach ca. 10 Minuten Betrieb

Experimentierplattformen

Drei Ebenen von "Analogrechnern":

Transistiorebene

Operationsverstärkerebene

Funktionsebene ("Der Analogrechner")

Transistorebene

Unstrukturiert mit einem Steckbrett

Es gibt vorverlegte Verbindungen auf dem Steckbrett und Drahtbrücken / Kabel

Abbildung 11-1. OpAmp Schaltung Steckbrett

Abbildung 11-2. Zugehöriger Schaltplan

Abbildung 11-3. Eine bekannte einfache Transistorschaltung als Approximation eines Operationsverstärkers.

Abbildung 11-4. Aufbau mit Steckbrett. (Links) Spannungsversorgung mit einem DC/DC Wandler, der aus 5VEingang ± 12V Ausgang liefert (Rechts) Ein digitales Spannungsmessgerät

Abbildung 11-5. Aufbau mit Steckbrett. (Links) Spannungsversorgung mit einem DC/DC Wandler, der aus 5VEingang ± 12V Ausgang liefert (Rechts) Ein digitales Spannungsmessgerät (Oben, Mitte) Fotodiode

Abbildung 11-6. Duale Spannungsversorgung aus 5V mit DC/DC Spannungswandler und Digitalvoltmeter. Das Voltmeter hat als Bezugspunkt -12V! Differentbildung zwischen einem Eingang und 0V liefert korrigierten Wert.

Ein einfaches Experiment: Beschalte den OpAmp3 als invertierender Verstärker mit G=10. Erzeuge mit dem Potentiometer eine Spannung von [-1 V,+1V] und messe die Eingangs- und Ausgangsspannung mit dem digitalen Voltmeter.

Abbildung 11-7. (Links) Invertierender Verstärker mit einstellbarer Gleichspannung am Eingang (Rechts) Fotodiodenstromverstärker

Operationsverstärkerebene

Abbildung 11-8. Struturiertes Experimentierlabor für Operationsverstärkerschaltungen (hier 4 × 2 OpAmps) mit Anordnung der Steckfelder nach den Funktionsblöcken einer OpAmp Schaltung, d.h.Rückkopplungsblöcke, Eingangsböcke, Terminalblocke, Ausgnagsblöcke. Weiterhin umfangreiche ADDA Schnittstellen.

Analogrechnerebene

Abbildung 11-9. THE ANALOG THING ()